Квантовая механика и интегралы по траекториям

Выполнив интегрирование по всем траекториям от c до b, а затем по всем возможным значениям x_c, получим окончательно

K(b,a)=

K(b,c)

K(c,a)

dx

_c

.

x

_c

(2.31)

Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени t_k. Пусть t_c=t_k и x_c=x_k. Сначала интегрируем по всем x_i для которых ik. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя K(c,a). Далее интегрируем по всем x_i, для которых ik; так получается множитель K(b,c). После этого остаётся проинтегрировать по x_c, и результат запишется в виде (2.31).

Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками a и b однозначно определяется выбором точки x_c, которая отвечает моменту времени t_c. В случае частицы, движущейся из точки a в точку b, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:

1) ядро, соответствующее переходу из точки a в точку b, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки a в точку c и далее в точку b по всем возможным значениям величины x_c;

2) амплитуда перехода из точки a в точку c и далее в точку b равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки a в точку c и из точки c в точку b.

Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.

Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: t_c и t_d. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки a в точку b, можно записать в виде

K(b,a)=

K(b,c)

K(c,d)

K(d,a)

dx

_c

dx

_d

.

x

_c

x

_d

(2.32)

Это означает, что частица, которая движется из точки a в точку b, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки a в точку d, потом из точки d в точку c и, наконец, из точки c в точку b. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки a в точку b, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных x_c и x_d.

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на N участков. В результате получим

K(b,a)=

x₁

x₂

…

x_N-1

K(b,N-1)

K(N-1,N-2)

…

K(i+1,i)

…

K(1,a)

dx

₁

dx

₂

…

dx

_N-1

.

(2.33)

Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени , имеет вид

K(i+1,i)=

1

A

exp

i

h

L

x_i+1-x_i

,

x_i+1+x_i

2

,

t_i+1+t_i

2

.

(2.34)

Последнее выражение является точным в первом приближении по . Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:

[x(t)]=

lim

->0

N-1

i=0

K(i+1,i).

(2.35)

Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра K(b,a). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).

§ 6. Некоторые замечания

В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде e^iS/h или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро K(i+1,i) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.

В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на h. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.

Глава 3

ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ