Квантовая механика и интегралы по траекториям

Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени t₀ частица выходит из начала координат, а спустя время T мы находим её в некоторой точке x₀. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью v₀=x₀/T. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время она пройдёт дополнительное расстояние v₀. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.

В момент времени t₀ частица выходит из начала координат x₀. Пусть нам известно, что спустя время T она находится в окрестности x₀±b точки x₀. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время на расстоянии x от точки x₀? Амплитуду перехода в точку x в момент времени t+ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени T соответствующие траектории лежат в интервале x₀±b.

Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±b от точки x₀? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени T в интервале x₀±b. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.

Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.

Известно, что частица, выходящая в момент времени t=0 из точки x=0, проходит между точками x₀-b и x₀+b в момент времени t=T.

Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке x спустя время , т.е. когда t=T+. Согласно классическим законам, частица должна находиться между x₀(/T)+b(1+/T) и x₀(/T)-b(1+/T), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.

Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две — соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки x=0 при t=0 в точку x=x₀+y при t=T, где |y|=b; во второй — движение из точки x₀+y при t=T в точку x при t=T+. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.

Предположим, что в момент времени T нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось x за исключением интервала x₀±b. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала x₀±b, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала x₀±b. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде

(x)=

_b

^-b

K(x+x

₀

,T+;x

₀

+y,T)

K(x

₀

+y,T;0,0)dy.

(3.19)

Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второе — дальнейшее движение частицы от щели до точки x. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид

(x)=

_b

^-b

2ih

m

- 1/2

exp

im(x-y)^2

2h

2ihT

m

- 1/2

x

x

exp

im(x₀+y)^2

2hT

dy.

(3.20)

Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.

Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию G(y). Если положить эту функцию равной единице в интервале -b=y=+b и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда

(x)=

_-

mG(y)

2ihT

exp

im

2h

(x-y)^2

+

(x₀-y)^2

T

dy,

(3.21)

где

G(y)=

1 для -b=y=b,

0 для |y|b.

Допустим теперь, что в качестве G(y) взята функция Гаусса

G(y)=e

^{-y^2/2b^2}

.

(3.22)