Квантовая механика и интегралы по траекториям

Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром b. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -b и +b.

Фиг.3.4. Вид гауссовой функции G(y)=e^{-y^2/2b^2}.

Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным b.

Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени T частицы распределены вдоль оси x с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции G(y) (относительная вероятность пропорциональна [G(y)]^2). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени T они будут распределены вдоль оси x так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии x₁ от точки x₀ и с большей шириной b₁ определяемыми равенствами

x

₁

=

x₀

T

, b

₁

=b

1+

T

,

(3.23)

как показано на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.

Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени T+ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени T. Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролёта частиц. Характеристическая ширина распределения (т.е. ширина на половине высоты пика. — Ред.) будет возрастать от значения 2b до 2b₁, где b₁=b(T+)/T. В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.

В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет

(x)=

^-

m

2ihT

exp

im

2h

x^2

+

x^2₀

T

+

+

im

h

-

x

+

x₀

T

y+

im

2h

+

im

2hT

-

1

2b^2

y^2

dy.

(3.24)

Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(x^2+x), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:

^-

[exp(x^2+x)]dx=

-

1/2

exp

-

^2

4

для Re=0.

(3.25)

Таким образом, амплитуда становится равной

(x)=

m

2ih

1/2

T

1

T

+

1

+

hi

b^2m

- 1/2

x

xexp

im

2h

x^2

+

x^2₀

T

-

(im/h)^2(-x/+x₀/T)^2

4(im/2h)(1/+1/T+hi/b^2m)

.

(3.26)

Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть v₀=x₀T. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:

(x)=

m

2ih

1/2

T++T

hi

mb^2

- 1/2

x

xexp

im

2h

v

₂

⁰

T+

x^2

+

(m^2/2h^2^2)(x-v₀)^2

(m/h)(i/T+i/)-1/b^2

.

(3.27)

Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси x. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем

P(x)dx=

m

2hT

b

x

exp

-(x-v₀)^2

(x)^2

dx.

(3.28)

Здесь применялась подстановка

(x)^2=b^2

1+

T

^2

+

^2h^2

m^2b^2

=b

₂

¹

+

^2h^2

m^2b^2

.

(3.29)

Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке x₁=v₀, определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения x больше той величины b₁ которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть a₁ и a₂ — две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно ₁ и ₂. Тогда если a₃=a₁+a₂, то среднеквадратичное отклонение величины a₃ от её среднего значения равно ₃=(^2₁+^2₂) ^1/2 . Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяжённости, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения exp(-x^2₁/2b^2) величина среднеквадратичного отклонения действительно равна b.

Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведёт себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной x₁, среднеквадратичное отклонение которой составляет

x

₁

=

h

mb

.

(3.30)

Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение x₁, а не сама переменная x₁. Поскольку в этом члене появляется константа h, ясно, что по природе своей он — квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.

Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределённость в их последующем положении. Эта неопределённость x₁ пропорциональна интервалу времени между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением её положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создаёт в значении её скорости неопределённость, величина которой равна

v=

h

mb

.

(3.31)

Связанный с шириной щели параметр 2b мы могли бы рассматривать как меру неопределённости координаты частицы в момент её прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределённость через x и записать произведение mv как импульс p, то выражение (3.31) приобретает вид

px=2h.

(3.32)