Квантовая механика и интегралы по траекториям

Таким образом, ядро K(x₂,t₂;x₁,t₁) = (x₂t₂) фактически представляет собой волновую функцию. Это ядро есть амплитуда вероятности попасть в точку (x₂t₂). Запись K(x₂,t₂;x₁,t₁) содержит больше информации, в частности, указывает, что эта амплитуда соответствует конкретному случаю, когда частица приходит из точки (x₁,t₁). Возможно, для некоторых задач такая информация не представляет интереса, так что сохранять её нет смысла. Тогда мы будем применять для волновой функции обозначение (x₂,t₂).

Так как волновая функция является амплитудой, она удовлетворяет правилам, по которым складываются амплитуды последовательных во времени событий. Так, поскольку соотношение (2.31) справедливо для любых точек (x₁,t₁), волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению

(x

₂

,t

₂

)=

^-

K(x

₂

,t

₂

;x

₃

,t

₃

)

(x

₃

,t

₃

)

dx

₃

.

(3.42)

Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку (x₂,t₂) [т.е. (x₂,t₂)] представляет собой сумму, или интеграл, по всем возможным значениям x₃ от произведения полной амплитуды перехода в точку (x₃,t₃)[т.е. (x₃,t₃)] на амплитуду перехода из точки 3 в точку 2 [т.е. K(x₂,t₂;x₃,t₃)]. Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы может быть выражено всего лишь через одну функцию. Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме её волновой функции в некоторый определённый момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.

Задача 3.4. Пусть в момент времени t=0 свободная частица имеет некоторый определённый импульс [т.е. её волновая функция равна C exp (ipx/h)]. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот же импульс [т.е. что волновая функция зависит от x через экспоненту exp (ipx/h)] и изменяется в зависимости от времени как exp [(-ip^2/2mh]. Это означает, что частица обладает определённой энергией p^2/2m.

Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению

-

h

i

t

=-

h^2

2m

^2

x^2

(3.43)

которое является уравнением Шрёдингера для случая свободной частицы.

§ 5. Интегралы Гаусса

Мы закончили физическую часть данной главы и перейдём теперь к математическим вопросам. Введём дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории.

Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содержит переменные в степени не выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует случаю, когда действие S является квадратичной формой от траектории x(t).

Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид

L=

a(t)x^2+

b(t)xx+

c(t)x^2+

d(t)x+

e(t)x+

f(t).

(3.44)

Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными конечными точками. Фактически лангранжиан в этой форме является несколько более общим, чем это необходимо. В тех членах, где множитель x входит линейно, он может быть исключён интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно. Мы хотим определить

K(b,a)=

_b

^a

exp

i

h

t_b

t_a

L(x,x,t)dt

Dx(t)

(3.45)

— интеграл по всем траекториям, соединяющим точки (x_a,t_a) и (x_b,t_b).

Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т.е. путём разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных x и x. Такие интегралы всегда могут быть вычислены. Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра K можно определить следующим образом.

Пусть x(t) — классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это — путь, вдоль которого действие S экстремально. В обозначениях, которые мы применяли ранее,

S

_кл

[b,a]

=

S[

x

(t)].

(3.46)

Величину x можно выразить через x и новую переменную y

x=

x

+y.

(3.47)

Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не её расстоянием x(t) от произвольной координатной оси, а отклонением y(t) от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7.

Фиг. 3.7. Разность между классической траекторией x(t) и одной из альтернативных траекторий x(t), описываемая функцией y(t).