Квантовая механика и интегралы по траекториям

2 sin T

(cos T)(x

₂

^b

+x

₂

^a

)-2x

_b

x

_a

+

+

2x_b

m

t_b

t_a

f(t) sin (t-t

_a

)dt+

2x_a

m

t_b

t_a

f(t) sin (t

_b

-t)dt-

-

2

m^2^2

t_b

t_a

t

t_a

f(t)f(s) sin

(t

_b

-t) sin

(s-t

_a

)

dsdt

(3.66)

и T=t_b-t_a.

Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.

Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при t=0

(x,0)=exp

-

m

2h

(x-a)^2

,

(3.67)

то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что

(x,t)=exp

-

iT

2

-

m

2h

x^2-2axe

^-iT

+ 1/2 a^2(1+e

^-2iT

)

(3.68)

и найдите распределение вероятности ||^2.

§ 7. Системы с многими переменными ¹)

¹) См. работу[4].

Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ x(t) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.

В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями x(t), y(t) и z(t). В частности, для свободной частицы действие равно

m

2

t_b

t_a

[x(t)^2+

y(t)^2+

z(t)^2]

dt.

Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (x_a, y_a, z_a) в момент времени t_a в конечную точку (x_b, y_b, z_b) и момент времени t_a,

K(

x

_b

, y

_b

, z

_b

, t

_b

;

x

_a

, y

_a

, z

_a

, t

_a

)=

=

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

m

2

(x^2+

y^2+

z^2)

dt

Dx(t)Dy(t)Dz(t).

(3.69)

Дифференциал здесь записан в виде Dx(t)Dy(t)Dz(t). Если время разделено на промежутки , то положение частицы в момент времени t_i задаётся тремя переменными x_i, y_i, z_i и интеграл по переменным dx_i, dy_i, dz_i для каждого значения i имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором r в некотором s-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объёма dv_i или d^sr_i, и произведение дифференциалов для каждого i мы можем записать в более общем виде D^sr_i.

Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель A [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на N промежутков длительностью , то в интеграл должен быть включён множитель A^-3N.

Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой m, координата которой x, а другая система — частицу массой M и с координатой X. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала V(x,X). Действие в этом случае равно

S[x(t),X(t)]=

t_b

t_a

m

2

x^2+

M

2

X^2-

V(x,X)

dt,

(3.70)

так что ядро имеет вид

K(

x

_b

, X

_b

, t

_b

;

x

_a

, X

_a

, t

_a

)=

=

_b

_a

_b

_a

exp

i

h

S[x(t),X(t)]

Dx(t)DX(t).

(3.71)

Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве x, X. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно x и X. Тогда K является ядром для перехода частицы массы m из пространственно-временной точки (x_a,t_a) в точку (x_b,t_b) и частицы массы M из точки (X_a,t_a) в точку (X_b,t_b). Ядро K равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым x и X), равна экспоненте e^iS/h, где S — действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных x и X, и интеграл берётся по обеим этим функциям.

§ 8. Системы с разделяющимися переменными

Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор x — совокупность координат одной частицы, а вектор X — совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:

S[x,X]=

S

_x

[x]+

S

_X

[X],

(3.72)

где в S_x входят только траектории x(t), а в S_X — только траектории X(t). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.

При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от x, и другого, зависящего только от X:

K(

x

_b

, X

_b

, t

_b

;

x

_a

, X

_a

, t

_a

)=

=

_b

_a

_b

_a

exp

i

h

{S

_x

[x]+S

_X

[X]}

D^3x(t)D^3X(t)=

=

_b

_a

exp

i

h

S

_x

[x]

Dx(t)

_b

_a

exp

i

h

S

_X

[X]

DX(t)=

=

K

_x

(

x

_b

, t

_b

;

x

_a

, t

_a

)

K

_X

(

X

_b

, t

_b

;

X

_a

, t

_a

).

(3.73)