Квантовая механика и интегралы по траекториям

Ядро K_x здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой x, и аналогичным образом определяется ядро K_X. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.

В случае нескольких частиц волновая функция (x,X,…,t) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени t одна частица находится в точке x, другая — в точке X и т.д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке x, другая—в точке X и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:

(x,X,…,t)

=

K

(x,X,…,t;x',X',…,t')x

x

(x',X',…,t')

dx'

dX'

,

(3.74)

где dx' — произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство x'.

Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат x и X, ядро K является произведением двух функций, одна из которых зависит от x и t, а другая же — от X и t. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определённый момент времени является произведением функции от x на функцию от X, т.е. =f(x)g(X), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро K описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция уже не будет простым произведением.

Если даже в первоначальной системе координат действие S и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.

§ 9. Интеграл по траекториям как функционал

Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближённые методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удаётся применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как

K(b,a)

=

_b

_a

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

m

2

x^2

dt+

i

h

t_b

t_a

M

2

X^2

dt+

+

i

h

t_b

t_a

V(x,X,t)

Dx(t)DX(t).

(3.75)

Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям X(t). Результат формально можно записать в виде

K(b,a)

=

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

m

2

x^2

dt

T[x(t)]Dx(t),

(3.76)

где

T[x(t)]

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

M

2

X^2+

V(x,X,t)

dtDX(t).

(3.77)

Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы X, даёт функционал T. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь A=f(y)dy является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде A[f(y)], чтобы показать, что A зависит от функции f(y). Мы не пишем A(f(y)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.е. считать, что A зависит только от того, какое значение принимает f в некоторой определённой точке y. Это не тот случай. Величина A[f(y)] зависит от вида всей функции f(y), но не зависит непосредственно от y.

Функционал, определённый выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала V из точки X_a в точку X_b переходит лишь одна частица X. При вычислении этот потенциал берётся в предположении, что x фиксировано, в то время как X изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы X, когда частица x движется вдоль некоторой определённой траектории. Ясно, что амплитуда T зависит от выбора траектории x(t), поэтому мы и записываем её в виде функционала от x(t). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды T на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям x(t).