Квантовая механика и интегралы по траекториям

С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как

F(T)

=

₀

⁰

exp

i

h

_T

₀

m

2

(y^2-^2y^2)

dt

Dy(t).

(3.84)

Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от , способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени t=0 и возвращаются в эту же точку в момент t=T, функцию y(t) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2/T:

y(t)=

 

ⁿ

a

_n

sin

nt

T

.

(3.85)

Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени t рассматривать траектории как функции от y, мы можем считать их функциями коэффициентов a_n. Это есть линейное преобразование, якобиан которого J является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от , m и h.

Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от (в том числе и J), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение F(T)=m/2ihT для =0 (случай свободной частицы).

Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным

_T

₀

y^2

dt

=

 

ⁿ

 

^m

n

T

m

T

a

_n

a

_m

_T

₀

cos

nt

T

cos

mt

T

dt

=

=

T·

1

2

 

ⁿ

n

T

^2

a

^2

ⁿ

(3.86)

и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным

_T

₀

y^2

dt

=

T·

1

2

 

ⁿ

a

^2

ⁿ

(3.87)

Если предположить, что время T разделено на интервалы длины , как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число N коэффициентов a_n, то интеграл по траекториям приобретает вид

F(T)

=

J

^-

^-

…

^-

exp

_N

ⁿ⁼¹

im

2h

n

T

^2

-^2

a

^2

ⁿ

x

x

da₁

A

da₂

A

…

da_N

A

.

(3.88)

Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов a_n. В результате такого интегрирования получим

_-

exp

im

2h

n^2^2

T^2

-^2

a

^2

ⁿ

da_n

A

=

n^2^2

T^2

-^2

- 1/2

.

(3.89)

Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению

_N

ⁿ⁼¹

n^2^2

T^2

-^2

- 1/2

=

_N

ⁿ⁼¹

n^2^2

T^2

- 1/2

_N

ⁿ⁼¹

1-

^2T^2

n^2^2

- 1/2

.

(3.90)

Первое произведение справа не зависит от и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу [(sin T)/T]^{- 1/2} , когда N->, т.е. когда ->0. Поэтому

F(T)

=C

sin T

T

- 1/2

,

(3.91)

где постоянная C не зависит от . Но при =0 наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже нашли, что

F(T)

=

m

2ihT

1/2

.

(3.92)

Следовательно, для гармонического осциллятора имеем

F(T)

=

m

2ih sin T

1/2

.

(3.93)

Это нужно подставить в формулу (3.59), чтобы получить полное решение.

Задача 3.13. Следя за всеми постоянными, покажите, что якобиан удовлетворяет соотношению

J

N

T

^N

_N

ⁿ⁼ⁱ

1

n

->1,

(3.94)

когда N-> .

Глава 4

ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ ОПИСАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В интегралах по траекториям, которые мы до сих пор рассматривали, всюду [за исключением выражения (3.82)] под знаком интеграла стояли экспоненты от действия, обладающего свойством

S[2,1]=S[2,3]+S[3,1].

(4.1)

Такие интегралы можно исследовать с помощью интегральных уравнений, к которым они сводятся. Мы уже видели это в гл. 2 [см., например, выражение (2.31)] и в гл. 3 [выражение (3.42)].

Ещё более удобным методом, когда это возможно, является сведение интеграла по траекториям к дифференциальному уравнению. Такая возможность в квантовой механике существует и фактически представляет собой самый удобный способ изложения этой теории. Почти всегда бывает легче решить дифференциальное уравнение, чем непосредственно вычислять интеграл по траекториям. Обычное изложение квантовой механики основано именно на таком дифференциальном уравнении, известном как уравнение Шрёдингера. В данной главе мы выведем это уравнение на основе нашей формулировки квантовой механики, но не будем рассматривать его решение для большого числа примеров, поскольку такие решения достаточно подробно рассмотрены в других книгах ¹).

¹) См., например, [2]. (Большое число поучительных примеров, связанных с решением уравнения Шрёдингера, имеется в книгах советских авторов: Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, нерелятивистская теория, М., 1963; Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, М., 1962; А. А. Соколов, Ю. М., Лоскутов и И. М. Тернов, Квантовая механика, М., 1962, и многих других.— Прим. ред.)

Заметим, что эта глава преследует двойную цель.