Квантовая механика и интегралы по траекториям

1. По отношению к читателю, который интересуется главным образом квантовой механикой, наша задача состоит в том, чтобы связать формулировку, основанную на интегралах по траекториям, с другими изложениями, встречающимися в научной литературе и учебниках, с тем чтобы читатель мог продолжить самостоятельное изучение предмета, научившись переходить с одного языка на другой и обратно.

2. Читателя, который интересуется в основном методом интегралов по траекториям, глава познакомит с техникой сведения определённого класса этих интегралов к дифференциальным уравнениям; такое сведение лучше всего показать на одном квантовомеханическом примере, к которому мы теперь и переходим.

§ 1. Уравнение Шрёдингера

Дифференциальная форма соотношений. Причина того, что мы можем перейти к дифференциальному уравнению, заключена в том, что соотношение (4.1) справедливо для любых точек 1, 2 и 3. Например, момент t₂ может отличаться от момента t₃ всего лишь на бесконечно малый интервал . Это позволяет нам связать значение интеграла по траекториям, вычисленное для одного момента, с его значением в другой момент, бесконечно близкий к первому. Таким путём мы можем получить для интеграла некоторое дифференциальное уравнение.

Как было уже показано, понятие волновой функции можно ввести как следствие соотношения (4.1). Более того, мы знаем, что выражение

(x

₂

,t

₂

)

=

^-

K(x

₂

,t

₂

;x

₁

,t

₁

)

(x

₁

,t

₁

)

dx

₁

(4.2)

описывает волновую функцию в момент времени t₂ через волновую функцию в момент времени t₁. Чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, применим это соотношение к специальному случаю, когда время t₂ отличается от времени t₁ всего лишь на бесконечно малую величину . Ядро K(2,1) пропорционально экспоненциальной функции от действия для интервала времени (t₁t₂), выраженного в единицах i/h. Но для малого интервала действие приближённо равно произведению на значение лагранжиана в некоторой точке этого интервала. Следовательно, в том же приближении, что и для равенства (2.34), мы можем записать

(x,t+)

=

^-

1

A

exp

i

h

L

x-y

,

x+y

2

(y,t)

dy.

(4.3)

Применим теперь это выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала V(x,t), т.е. к случаю, когда L=(mx^2/2)-V(x,t). Соотношение (4.3) тогда запишется в виде

(x,t+)

=

^-

1

A

exp

i

h

m(x-y)^2

2

x

x

exp

-

i

h

V

x+y

2

,t

(y,t)

dy.

(4.4)

В показателе первой экспоненты появляется величина (x-y)^2/. Ясно, что если y заметно отличается от x, то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении y экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя даёт очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин). Существенный вклад дают лишь значения y, близкие к x, когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку y=x+, имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых . После подстановки получаем

(x,t+)

=

^-

1

A

exp

im^2

2h

exp

-

i

h

V

x+

2

,t

[(x+),t]

d.

(4.5)

Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда порядка h/m, так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений .

Функцию мы можем разложить в степенной ряд, причём необходимо удержать лишь члены порядка . Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по . Величину V[(x+/2),t] можно заменить на V(x,t), поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем . Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по , а в правой — первым порядком по и вторым по , получаем

(x,t)

+

t

=

^-

1

A

e

^{im^2/2h}

1-

i

h

V(x,t)

x

x

(x,t)

+

x

+

1

2

^2

^2

x^2

d.

(4.6)

Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции (x,t) на интеграл

1

A

^-

e

^{im^2/2h}

d

=

1

A

2ih

m

1/2

;

(4.7)

в левой же части мы имеем только (x,t). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при , стремящемся к нулю, необходимо выбрать A таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует

A=

2ih

m

1/2

,

(4.8)

что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)]. Таким способом величину A можно определять и в более сложных задачах. Значение A должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по . В противном случае при ->0 предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать.

Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла:

^-

1

A

e

^{im^2/2h}

d

=0

(4.9)

и

^-

1

A

e

^{im^2/2h}

^2

d

=

ih

m

(4.10)

Подставив в формулу (4.6) значения этих интегралов, получим

+

t

=-

i

h

V-

h

2im

^2

x^2

.

(4.11)

Последнее равенство будет выполняться с точностью до , если функция удовлетворяет уравнению

-

h

i

t

=-

h^2

2m

^2

x^2

+

V(x,t).

(4.12)

Это и есть уравнение Шрёдингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как это сделано в рассмотренных ниже задачах.

Задача 4.1. Покажите, что для трёхмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом V уравнение Шрёдингера имеет вид

-

h

i

t

=-

h^2

2m

^2+V.

(4.13)