Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан H оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие S, не зависящее явным образом от времени t (например, когда потенциалы A и V не содержат время t). В таком случае ядро зависит не от переменной времени t, а будет функцией лишь интервала t2-t1. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде =f(t)(x), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение

-

h

i

f'(t)(x)

=

Hf(t)(x)

=

f(t)H(x),

(4.39)

или

-

h

i

f'

f

=

1

H.

(4.40)

Левая часть этого уравнения не зависит от x, тогда как правая не содержит зависимости от t. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых x и t, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через E. Тогда

f'=

-

i

h

Ef,

или

f=

e

-iEt/h

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

(x,t)

=

e

-(i/h)Et

(x),

(4.41)

где функция удовлетворяет уравнению

H

=

E,

(4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией E. Каждому значению энергии E соответствует своя особая функция — частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке x, задаётся квадратом модуля волновой функции , т.е. ||^2. В силу равенства (4.41) эта вероятность равна ||^2 и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна E, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть E1 — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение 1 и E2 — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению 2. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:

1

=

e

-(i/h)E1t

1

(x)

 и

2

=

e

-(i/h)E2t

2

(x);

(4.43)

так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с его решением будет и c. Кроме того, если 1 и 2 — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

=

c

1

e

-(i/h)E1t

1

(x)

+

c

2

e

-(i/h)E2t

2

(x)

(4.44)

тоже будет решением уравнения Шрёдингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии E и найдены соответствующие им функции то любое решение уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях c1 и c2. Поэтому, используя для функции выражение (4.44) получаем

*

dx

=

c

*

1

c

2

|

1

|^2

dx

+

c

*

1

c

2

exp

i

h

(E

1

-E

2

)t

*

1

2

dx

+

+

c

1

c

*

2

exp-

i

h

(E

1

-E

2

)t

1

*

2

dx

+

c

*

2

c

2

*

2

2

dx.

(4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(i/h)(E1-E2)t] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов c1 и c2. Это означает, что

-

*

1

2

dx

=

-

1

*

2

dx

=0.

(4.46)

Если две функции f и g удовлетворяют соотношению

f*g

dx

=0,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.

Ниже будет дана интерпретация выражений типа f*gdx, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию E [и, следовательно, её волновая функция 1=exp(iE1t/h)1], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии E2 [т.е. волновую функцию exp(iE2t/h)2] должна равняться нулю.

Задача 4.8. Покажите, что когда оператор H эрмитов, то собственное значение E вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) f=g=1].

Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор H эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите f=2, g=1].

Перейти на страницу:

Похожие книги

Скрытая реальность. Параллельные миры и глубинные законы космоса
Скрытая реальность. Параллельные миры и глубинные законы космоса

Брайан Грин - автор мировых бестселлеров "Элегантная Вселенная" и "Ткань космоса" - представляет новую книгу, в которой рассматривается потрясающий вопрос: является ли наша Вселенная единственной?Грин рисует удивительно богатый мир мультивселенных и предлагает читателям проследовать вместе с ним через параллельные вселенные.  С присущей ему элегантностью Грин мастерски обсуждает сложнейший научный материал на живом динамичном языке, без привлечения абстрактного языка формул, показывая читателю красоту науки на передовых рубежах исследования. Эта яркая книга является, безусловно, событием в жанре научно-популярной литературы. "Скрытая реальность" - это умный и захватывающий рассказ о том, насколько невероятной может быть реальность и как нам проникнуть в ее тайны.

Брайан Грин , Брайан Рэндолф Грин

Физика / Научпоп / Образование и наука / Документальное