Квантовая механика и интегралы по траекториям

Однако, вводя ограниченный объём V, мы вынуждены использовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении k решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях k, то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид 1/Le^ikx и 1/Le^-ikx. Поскольку волну e^-ikx можно рассматривать как волну e^ikx, но с отрицательным значением k, наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы e^ikx, нормировать их на отрезке длины L изменения переменной (т.е. положить =1/Le^ikx) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной k таким образом, чтобы число состояний со значениями k, заключённых в интервале (k,k+dk), было равно Ldk/2, а само k изменялось от - до +.

Периодические граничные условия. Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удаётся обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приёмом, то её конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого-нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена. Поэтому вместо физически простых условий =0 мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты e^ikx. Таковыми условиями являются

L

2

=

-

L

2

(4.70)

и

'

L

2

='

-

L

2

(4.71)

Их называют периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности (x) с периодом L во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции 1/Le^ikx являются нормированными на отрезке L решениями при условии, что k=2n/L, где n — любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль. Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше.

Что происходит в случае трёх измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными L_x, L_y, L_z. Используем периодические граничные условия, т.е. потребуем, чтобы значения волновой функции и её первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой произведение

1/L

_x

e

^ik_xx

1/L

_y

e

^ik_yy

1/L

_z

e

^ik_zz

=

1

V ^1/2

e

^ik·r

,

(4.72)

где V=L_xL_yL_z — объём ящика, и допустимыми значениями будут k_x=2n_x/L_x, k_y=2n_y/L_y и k_z=2n_z/L_z (n_x, n_y, n_z — целые числа). Кроме того, число решений со значениями k_x, k_y, k_z, лежащими соответственно в интервалах dk_x, dk_y, dk_z, равно произведению

dk_x

2

L

_x

dk_y

2

L

_y

dk_z

2

L

_z

=

d^3k

(2)^3

V.

(4.73)

Другими словами, мы использовали плоские волны, нормированные в объёме V. Число состояний в объёме d^3k (дифференциальном объёме k-пространства) равно Vd^3k/(2)^3.

Применим это к задаче 4.11 и вспомним установленную в § 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом p=hk. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были exp[(ip·r)/h], в то время как теперь мы должны использовать 1/Vexp[(ip·r)/h], нужно ввести добавочный множитель 1/V. [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы

 

^p

надо заменить на интеграл Vd^3p/(2h)^3. Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.

Следует отметить, что множители V сокращаются, как это и должно быть, так как при V-> ядро K не должно зависеть от размера ящика.

Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объём V сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.

Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т.е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом.