Квантовая механика и интегралы по траекториям

Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней E_n, не только ортогональны, но также и нормированы т.е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям x равен единице:

^-

_*

ⁿ

(x)

_m

(x)

dx

=

_nm

,

(4.47)

где _nm — символ Кронекера, определяемый равенствами _nm=0, если n/=m, и _nn=1. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шрёдингера:

f(x)=

ⁿ⁼¹

a

_n

_n

(x).

(4.48)

Коэффициенты a_n легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряжённые функции ^*₂(x) и интегрируя по x, получаем

^-

_*

^m

f(x)

dx

=

ⁿ⁼¹

a

_n

^-

_*

^m

_n

dx

=

a

_m

(4.49)

и, следовательно,

a

_n

=

^-

_*

ⁿ

(x)f(x)

dx.

(4.50)

Таким образом мы получили тождество

f(x)

=

ⁿ⁼¹

_n

(x)

^-

_*

ⁿ

(y)f(y)

dy

^-

ⁿ⁼¹

_n

(x)

_*

ⁿ

(y)

f(y)

dy.

(4.51)

Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения -функции:

(x-y)=

ⁿ⁼¹

_n

(x)

_*

ⁿ

(y).

(4.52)

Ядро K можно выразить через функции _n и значения энергии E_n. Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени t₂, если она нам известна в момент времени t₁. Так как она является решением уравнения Шрёдингера, то при любом t её, как и всякое его решение, можно записать в виде

(x,t)

=

ⁿ⁼¹

c

_n

e

^-(i/h)E_nt

_n

(x).

(4.53)

Но в момент времени t₁

f(x)

=

(x,t

₁

)

=

ⁿ⁼¹

c

_n

e

^{-(i/h)E_nt₁}

_n

(x)

=

ⁿ⁼¹

a

_n

(x)

_n

(x)

,

(4.54)

поскольку мы всегда можем представить f(x) в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что

c

_n

=

a

_n

e

^{+(i/h)E_nt₁}

.

(4.55)

Подставив это в выражение (4.53), будем иметь

(x,t

₂

)

=

ⁿ⁼¹

c

_n

e

^{-(i/h)E_nt₂}

_n

(x)

=

ⁿ⁼¹

a

_n

exp

+

i

h

E

_n

(t

₁

-t

₂

)

_n

(x).

(4.56)

Используя теперь для коэффициентов a_n выражение (4.50), получаем

(x,t

₂

)

=

ⁿ⁼¹

_n

(x)

exp

-

i

h

E

_n

(t

₂

-t

₁

)

^-

_*

ⁿ

(y)

f(y)

dy

=

=

^-

ⁿ⁼¹

_n

(x)

_*

ⁿ

(y)

exp

-

i

h

E

_n

(t

₂

-t

₁

)

f(y)

dy

.

(4.57)

Эта формула выражает волновую функцию в момент времени t₂ через волновую функцию f(x), относящуюся к моменту времени t₁. Ранее мы выражали это соотношением

(x,t

₂

)

=

^-

K(x,t

₂

;y,t

₁

)

f(y)

dy

.

(4.58)

Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра K(2,1):

K(x

₂

,t

₂

;x

₁

,t

₁

)

=

=

ⁿ⁼¹

_n

(x

₂

)

_*

ⁿ

(x

₁

)

exp

-

i

h

E

_n

(t

₂

-t

₁

)

,

если t

₂

t

₁

,

0,

если t

₂

t

₁

.

(4.59)

Задача 4.10. Проверьте, что ядро K определённое соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шрёдингера.

Представление ядра K в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определённое ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).

Задача 4.11. Покажите, что в трёхмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц

_p

=

e

^(i/h)p·r

(4.60)

соответствуют энергии E_p=p^2/2m. Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса n вектор p, т.е. докажите, что для p/=p'

_r

 

_*

^p

_p'

d^3r=0

  даже если E

_p

=E

_p'

.

(4.61)

В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение

K

₀

(r

₂

,t

₂

;r

₁

,t

₁

)

=

 

^p

exp

-

i

h

p·(r

₂

-r

₁

)

exp

-

ip^2(t₁-t₁)

2hm

.

(4.62)

Так как векторы p составляют континуум, сумма по «индексам» p фактически эквивалентна интегралу по всем значениям p, т.е.

 

^p

=

_p

 

d^3p

(2h)^3

.

(4.63)

Ядро для случая свободной частицы запишется как

K

₀

(r

₂

,t

₂

;r

₁

,t

₁

)

=

_p

 

exp

-

i

h

p·(r

₂

-r

₁

)

exp

-

ip^2(t₁-t₁)

2hm

d^3p

(2h)^3

.

(4.64)

Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т.е. представляет собой трёхмерное обобщение выражения (3.3)].

§ 3. Нормировка волновых функций свободной частицы

Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведённый в задаче 4.11, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по различным состояниям n, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы. Во-вторых, волновые функции для свободных частиц [плоские волны], хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как

^-

*

dx

=

^-

1

dx

=

и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путём. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям _n:

f(x)

=

 

ⁿ

a

_n

_n

(x)

(4.65)

и учтём, что все или часть состояний могут принадлежать к непрерывному спектру, так что часть суммы по n следует заменить интегралом. Можно математически строго получить корректное выражение для ядра K, аналогичное выражению (4.62), но применимое также и в том случае, когда состояния находятся в непрерывной части спектра.