Квантовая механика и интегралы по траекториям

Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность P(p), определяемую в таком эксперименте. P(p)dp — вероятность того, что значение импульса находится между p и p+dp, равна вероятности P(x)dx того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени T будет находиться между точками x+dx. Конечно, это обусловлено тем, что импульс p связан с координатой x равенством p=mx/T. Допустим, что волновая функция частицы в момент времени t=0 имеет вид f(y), и наша задача заключается в том, чтобы выразить вероятность P(p) непосредственно через волновую функцию f(y).

Амплитуда вероятности того, что частица придёт в точку x в момент времени t=T, равна

(x,t)

=

^-

K

₀

(x,T;y,0)

f(y)dy

.

(5.1)

После подстановки ядра K₀, описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид

(x,t)

=

m

2_ihT

1/2

exp

imx^2

2hT

^-

exp

-imxy

hT

exp

imy^2

2hT

f(y)dy

.

(5.2)

Квадрат модуля амплитуды (x,T) даёт вероятность нахождения частицы между точками x и x+dx. В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе T->) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между p и p+dp:

P(x)dx

=

mdx

2hT

^-

exp

im

2hT

(y^2-2xy)

f(y)dy

^2

=

P(p)dp

(5.3)

при T->. Подстановка p=mxT с учётом предельного перехода к большим T приводит к выражению

P(p)dp

=

dp

2h

^-

exp

imy^2

2hT

-

ipy

h

f(y)dy

^2

.

(5.4)

Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±b - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция f(y) спадает до нуля для значений y, больших по абсолютной величине, чем b. Далее, при возрастании T величина imb^2/2hT становится пренебрежимо малой. Так как значения y, большие по абсолютной величине, чем b, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность P(p)dp будет приближённо равна произведению dp/2h на квадрат модуля амплитуды ¹)

(p)

=

₊

^-

exp

-ipy

h

f(y)dy

.

(5.5)

¹) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2h в определение амплитуды (p), куда он входит как 1/2h Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2h для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен d^3p/(2h)^3.

Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.

Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.

В точке x в интервале времени T она является произведением двух функций. Одна из них f(y) — амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки y как это показано пунктирной линией. Вторая — ядро для свободной частицы K(x,T;y,0) — является амплитудой перехода из точки y в точку x; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение x мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как y у нас — переменная величина. Если расстояние точки x от начала координат значительно больше расстояния между точками -b и +b, где функция f(y) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.

Приближённо её можно записать в виде exp[(-i/h)(mx/T)y] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки x эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по y. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время T (опять-таки в предположении x>>b), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен p=(mx/T).

Фиг. 5.2. Случай периодической амплитуды.

Если приближённо амплитуду f(y) считать периодической функцией с такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра K, как показано на фиг. а, то интеграл от произведения этих двух функций становится очень большим. Это означает, что с большой вероятностью импульс равен mx/T.

Если, с другой стороны, предположить, что длины волн различаются на некоторую новую функцию f'(y) как показано на фиг. б, то после перемножения вклады в интеграл от различных значений y будут взаимно уничтожаться. Вероятность того, что импульс равен mx/T, в этом случае мала.

Если выбрать, как это показано на фиг. в, другое конечное положение x' то в область (-b,b) попадёт совсем другая часть кривой K. При подходящем выборе x' длина волны, соответствующая этой части кривой K совпадает с длиной волны для функции f'(y) и величина вероятности в этом случае снова возрастает. Другими словами, частицы с большой вероятностью будут иметь новое значение импульса p=mx'/T.

Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трёхмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде

(p)

=

_r

 

exp

-

i

h

(p·r)

f(r)d^3r

.

(5.6)