Квантовая механика и интегралы по траекториям

В последующем во всех выражениях, содержащих , будет подразумеваться предельный переход при ->0.

Возвращаясь к вычислению ядра, заменим на E₂-(p^2/2m), после чего получим

E

₀

(p

₂

,E

₂

;p

₁

,E

₁

)

=

(2h)

⁴

^3

(p

₂

-p

₁

)

(E

₂

-E

₁

)

x

x

E

₁

-

p^2₁

2m

+i

-1

.

(5.18)

Наличие -функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс p не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.

Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией E и импульсом p из одной точки в другую пропорциональна i[E-(p^2/2m)+i]^-1.

В этой главе мы уже отмечали, что энергия E здесь, вообще говоря, не равна p^2/2m, а является независимой переменной.

Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина E является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времён T=t₂-t₁. Оно обращается в нуль при отрицательном T и начинает осциллировать при значении T=0. Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при T=0, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна из частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии E₀=p^2/2m.

Фиг. 5.4. Действительная часть ядра K₀ (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.

Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке t=0 она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.

Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель

i

=PP

i

+

E

₂

¹

-

p^2

2m

.

E

₀

-p

₂

2m+i

E

₂

-p^2/2m

¹

¹

(5.19)

Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при t=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное p^2/2m однако вблизи точки t=0 энергия не определяется этой классической формулой.

Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае

k(x

₂

,E

₂

;x

₁

,E

₁

)

=

e

^(ih)E₂t₂

K(x

₂

,t

₂

;x

₁

,t

₁

)

e

^{-(i/h)E₁t₁}

dt

₂

dt

₁

.

(5.20)

Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом H

k(x

₂

,E

₂

;x

₁

,E

₁

)

=

2hi

(E

₂

-E

₁

)

 

^m

_m(x₂)^*_m(x₁)

E₁-E_m+i

,

(5.21)

где _m — собственные функции, а E_m — собственные значения оператора H.

§ 2. Измерение квантовомеханических величин

Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен p. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.

Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы A (например, x-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности P(a); оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение A будет найдено равным a.

В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет зависеть от других переменных, необходимых для её полного определения. Посмотрим, что повлечёт за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений. Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством G. Например, G может означать утверждение: значение величины A равно a. У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос.