Квантовая механика и интегралы по траекториям

_*

^a,b,c,…

(x)

.

(5.33)

Эта функция зависит, конечно, от чисел a,b,c,…, для измерения которых ставится эксперимент, а также от координаты x.

Предположим, что система находится в состоянии f(x). Тогда вероятность того, что эксперимент даёт для A значение, равное a, для B — значение, равное b, и т.д. (другими словами, вероятность того, что состояние обладает интересующим нас свойством), есть

P(a,b,c,…)

=

_*

^a,b,c,…

(x)

f(x)

dx

^2

.

(5.34)

Преобразующие функции. Пусть система заведомо находится в состоянии _a',b',c',…, т.е. значение переменной A равно a' и т.д. Тогда вероятность того, что в нашем эксперименте система будет обнаружена в состоянии, описываемом величинами a,b,c,…, равна нулю, если не выполнены равенства a'=a, b'=b, c'=c, …. Это значит, что с учётом соответствующих нормирующих множителей

^-

_*

^a,b,c,…

(x)

_a',b',c',…

(x)

dx

=

(a-a')

(b-b')

(c-c')

.

(5.35)

Функция _a,b,c,…(x) представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы в положении x, если она находится в состоянии, описываемом величинами a,b,c,…. Функция ^*_a,b,c,…(x), которую мы назвали характеристической функцией, является амплитудой вероятности обнаружить систему в состоянии, определяемом величинами a,b,c,…, если известно, что она находится в положении x.

Пусть мы знаем, что состояние системы описывается функцией f(x); тогда выражение

F

_a,b,c,…

=

^-

_*

^a,b,c,…

f(x)

dx

(5.36)

есть не что иное, как амплитуда вероятности найти систему в состоянии, при котором величина A имеет значение a, величина B — значение b и т.д.

Величины E_a,b,c,… могут применяться для описания состояний системы с тем же успехом, что и функция f(x,y,z,…) Действительно, если мы знаем F_a,b,c,…, то с помощью обратного преобразования можем восстановить и функцию f(x,y,z,…).

Функция F_a,b,c,… называется ABC…- представлением данного состояния. Примером такого рода может служить импульсное представление, которое мы рассматривали в предыдущем параграфе. Функция f(x,y,z,…) является обычным координатным или xyz…- представлением состояния. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью функций и *. В частности, ^*_a,b,c,…(x,y,z,…)— преобразующая функция перехода от координатного представления к ABC…-представлению, тогда как _a,b,c,…(x,y,z,…)— преобразующая функция обратного перехода. Таким образом, преобразование, обратное преобразованию (5.36), имеет вид

f(x,y,z,…)

=

 

^a

 

^b

 

^c

…

F

_a,b,c,…

_a,b,c,…

(x,y,z,…)

.

(5.37)

Это говорит о том, что амплитуда вероятности обнаружить систему в положении x равна сумме по всем возможным значениям величин a,b,c,… произведений двух функций: E_a,b,c,…— амплитуды вероятности обнаружить систему с A=a, B=b, … и _a,b,c,…(x)— амплитуды вероятности обнаружения системы в положении x при условии, что A=a, B=b, ….

Задача 5.5. Предположим, что функцию f(x,y,z,…) можно записать в виде

f(x,y,z,…)

=

 

^a

 

^b

 

^c

…

F'

_a,b,c,…

_a,b,c,…

(x,y,z,…)

.

(5.38)

Подставляя это соотношение в формулу (5.36) и используя свойство ортогональности функций (5.35), покажите, что

F'

_a,b,c,…

=

F

_a,b,c,…

Задача 5.6. Пусть A, B, C — три декартовы компоненты импульса p_x, p_y, p_z. Каков вид функции _a,b,c(x,y,z)? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.

Задача 5.7. Предположим, что ABC…-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам известна функция _a,b,c,…(x,y,z,…), которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к ABC…-представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы между импульсным представлением и ABC…-представлением?

§ 3. Операторы

Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией f(x), и мы измеряем величину A; какое среднее значение получится для величины A при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом A.

Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин A, B, C, …, причём измерение величины A даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел a, измерение величины A — некоторое значение a, …. Вероятность получить определённый набор a, b, c, … равна |F_a,b,c,…|^2, а вероятность получить для величины A некоторое значение a при любых B, C, … (например, вообще не измеряя последние) равна

P(a)

=

 

^a

 

^b

…

|F

_a,b,c,…

|^2

.

(5.39)