Квантовая механика и интегралы по траекториям

Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин b, c, … .

Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины A получается умножением вероятности (5.39) на величину a и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого a. Таким образом,

A

=

 

^a

 

^b

 

^c

…a

|F

_a,b,c,…

|^2

.

(5.40)

Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).

Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины A непосредственно с помощью исходной волновой функции f(x). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции F_a,b,c,… можно записать как

|F

_a,b,c,…

|^2

=

F

_*

^a,b,c,…

F

_a,b,c,…

.

(5.41)

Используя формулу (5.36), получаем

A

=

 

^a

 

^b

 

^c

…a

^-

_a,b,c,…

(x)

f*(x)

dx

x

x

^-

_*

^a,b,c,…

(x')

f(x')

dx'

=

^-

f*(x)

R(x)

dx

.

(5.42)

Во второй строке этого равенства мы обозначили

R(x)

=

^-

G

_A

(x,x')

f(x')

dx'

,

(5.43)

где

G

_A

(x,x')

=

 

^a

 

^b

 

^c

…a

_a,b,c,…

(x)

_*

^a,b,c,…

(x')

.

(5.44)

Соотношение (5.43) говорит о том, что функция R(x) получается из функции f(x) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине A линейного интегрального оператора G_A(x,x'). Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде

R

=

Af

,

(5.45)

где символом A обозначен линейный оператор, действующий на функцию f. В данном случае A означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т.е. умножение на функцию G_A и интегрирование. Оператор A сопоставлен физической величине A. Используя эти обозначения, можно написать

A

=

^-

f*(x)

Af(x)

dx

=

=

^-

^-

f*(x)

G

_A

(x,x')

f(x')

dx

dx'

.

(5.46)

Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство G*_A(x,x') = G_A(x',x). Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций g(x) и f(x), каждая из которых стремится к нулю, когда x->±,

^-

g*(x)

Af(x)

dx

=

^-

[Ag(x)]*

f(x)

dx

.

(5.47)

Всякий оператор, подобный A, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].

Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид

_a,b,c,…

(r)

=

e

^(i/h)p·r

(5.48)

(см. задачу 5.6). В качестве физической величины A выберем x- компоненту импульса p_x. Покажите, что функция G_A имеет вид

G

_px

(x,x')

=

h

i

'(x-x')

(y-y')

(z-z')

,

(5.49)

где '(x)=(d/dx)(x). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий x-компонете импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как

p

_x

=

^-

f*(x)

h

i

f

x

dx

.

(5.50)

Задача 5.10. Предположим, что величина A является пространственной координатой x. Покажите, что правильная формула для среднего значения x получается в том случае, если функция G_x(x,x') выбрана в виде

G

_x

(x,x')

=

x

(x-x')

(y-y')

(z-z')

,

(5.51)

а оператор, соответствующий координате x, представляет собой просто умножение на x, т.е.

X

f(x)

=

x

f(x)

.

(5.52)

Собственныефункции и собственные значения. Действие оператора A на волновые функции _a,b,c,…, определённые в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:

A

_a,b,c,…

(x)

=

a

_a,b,c,…

(x)

.

(5.53)

Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что является собственной функцией оператора A, соответствующей его собственному значению a.

Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например A и B, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно A(Bf)=B(Af). Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:

AB

=

BA

Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины A и B являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин A, B, C, …, соответствующих одной и той же характеристической функции  _a,b,c,…. Если в уравнении (5.53) оператор B поместить перед оператором A, а величину b поставить перед a, то равенство не нарушится, так что

A(B)

=

A(b)

=

b(A)

=

ba

=

ab

.

(5.54)

Это справедливо, поскольку a и b — обычные числа, а не операторы. Точно так же

B(A)

=

B(a)

=

a(B)

=

ab

.

(5.55)