Квантовая механика и интегралы по траекториям

Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов B и A, когда они действуют на какую-либо из функций _a,b,c,…. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций .

Если -функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы AB и BA дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы A и B коммутируют.

Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату x и x-компоненту импульса p_x нельзя измерить одновременно.

Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов A, B, C, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений

A=a

,

B=b

,

C=c

,

….

(5.56)

Предположим, например, что операторы x-й, y-й и z-й компонент импульса p_x, p_y и p_z определены соответственно как [(h/i)(/x)], [(h/i)(/y)], [(h/i)(/z)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором p_x имеет значение a, p_y — значение b, а p_z — значение c?

(Числа a, b, c, … являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения

-

h

i

x

=a,

-

h

i

y

=b,

-

h

i

z

=c.

(5.57)

С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид exp[(h/i)(ax+by+cz)] Это согласуётся с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс p, описывается волновой функцией exp(h/i)(p·r).

Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции _n, могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра K в ряд по функциям _n, являющимися решениями уравнения Шрёдингера с постоянным гамильтонианом:

K(x

₂

,t

₂

;x

₁

,t

₁

)

=

 

ⁿ

_n

(x

₂

)

_*

ⁿ

(x

₁

)

exp

-

i

h

E

_n

(t

₂

-t

₁

)

.

(5.58)

Прежде всего заметим, что функция _n(x) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении x, если известно, что она находится в состоянии n. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряжённая ей функция *_n(x) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии n, если она занимает положение x. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени t₁ в положение 2 в момент времени t₂ выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) *_n(x₁) — амплитуды вероятности найти систему в точке x₁ если известно, что она находится в состоянии n; 2) exp[-(i/h)E_n(t₂-t₁)] — амплитуды вероятности найти систему в состоянии n в момент времени t₂, если в момент времени t₁ она была в состоянии n¹); 3) _n(x₂) — амплитуды вероятности найти систему в точке x₂, если мы знаем, что она находится в состоянии n.

¹) Эта амплитуда не связана с изменением состояния. В этом и заключено важное значение рассматриваемых нами функций _n.

Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции _n(x) как функции _a,b,c,…(x), рассмотренной в §2, т.е. покажите, что функция _n(x) является преобразующей функцией для перехода от x-представления к представлению, определяемому числом n (так называемому энергетическому представлению).

Глава 6

МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

В гл. 3 мы видели, как можно описать поведение квантовомеханической системы с помощью метода интегралов по траекториям, если в выражение функции действия S входит потенциал, имеющий только квадратичные члены. Однако потенциалы, с которыми мы встречаемся при решении ряда важных задач квантовой механики, не имеют такого частного вида и не могут быть рассмотрены столь просто. В данной главе развивается приближённый метод, который позволит рассматривать такие более сложные потенциалы. Этот метод называется теорией возмущений и оказывается особенно полезным, когда потенциал относительно невелик (по сравнению, например, с кинетической энергией системы).

Хотя разложение в ряд теории возмущений может быть получено и строго математически, ему тем не менее интересно дать физическое истолкование, которое позволяет глубже понять поведение квантовомеханических систем.