Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если в этом выражении поменять местами переменные s и s', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра K⁽ⁿ⁾ получается коэффициент 1/n!

Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма U+V, где V мало по сравнению с U. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал U может быть квадратичным по переменной x; и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала U+V описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро K₀ заменить ядром K_U, соответствующим движению только лишь под действием потенциала U. Таким образом, V можно рассматривать как возмущение потенциала U. Можно сказать, что -(i/h)V представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчёте на единицу объёма и на единицу времени). Ядро K_U — амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущённого потенциала U.

Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом V(x,y), где x — координата первой, а y — координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.

Если потенциал равен нулю, то K_V — просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины K_V(x_b, y_b, t_b; x_a, y_a, t_a). Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?

§ 2. Интегральное уравнение для ядра K_V

Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде

K

_V

(b,a)

=

K

₀

(b,a)

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,a)

d

_c

+

+

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,d)

V(d)

K

₀

(d,a)

d

_c

d

_a

+… .

(6.17)

Это выражение можно представить и в другом виде:

K

_V

(b,a)

=

K

₀

(b,a)

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

[

K

₀

(c,a)

-

-

i

h

K

₀

(c,d)

V(d)

K

₀

(d,a)

d

_d

+…]

d

_c

.

(6.18)

Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро K_V можно записать как

K

_V

(b,a)

=

K

₀

(b,a)

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,a)

d

_c

.

(6.19)

что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро K_V, в случае, когда известно ядро K₀ (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро K₀ нужно заменить на K_U). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.

Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки a в точку b посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них — амплитуда вероятности того, что движение частцы происходит без рассеяния (ядро K₀). Вторая — амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка c здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки a до точки c в потенциальном поле, и это её движение точно описывается ядром K_V(c,a). Затем в точке c происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку b. Эта часть движения описывается ядром K₀. Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.

Фиг. 6.3. Общий случай.

В случае 1 частица, на которую действует потенциал V, движется от точки a до точки b как свободная; это описывается амплитудой K₀(b,a) В случае 2 частица рассеивается на потенциале V один или большее число раз, причём последнее рассеяние происходит в точке c. Движение из точки a в точку c описывается ядром K_V(c,a) а из точки c в точку b — ядром K₀(b,c). Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки c, охватывает все возможности и даёт для K_V(b,a) уравнение (6.19).

Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками a и b, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки c.

Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:

-

h

i

t_b

K

₀

(b,a)

+

h^2

2m

^2

x^2_b

K

₀

(b,a)

=

ih

(t

_b

-t

_a

)

(x

_b

-x

_a

)

.

(6.20)

Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро K_V удовлетворяет дифференциальному уравнению

-

h

i

t_b

K

_V

(b,a)

+

h^2

2m

^2

x^2_b

K

_V

(b,a)

+

V(b)

K

_V

(b,a)

=

=

ih

(x

_b

-x

_a

)

(t

_b

-t

_a

)

.

(6.21)