Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 3. Разложение волновой функции

В § 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени t_a и t_b, можно получить волновую функцию для момента t_b, если известна волновая функция для более раннего момента времени t_a.

Здесь это уравнение нам будет удобно записать в виде

(b)

=

K

_V

(b,a)

f(a)

dx

_a

,

(6.22)

где f(a) — значение волновой функции в момент времени t=t_a [т.е. f(a) — функция точки x_a], (b) — волновая функция для более позднего момента времени t=t_b ¹). Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле V, где её движение описывается ядром K_V(b,a).

¹) Заметим, что наше условие K₀(b,a) для t_bt_a приводит к тому, что соотношение (6.22) становится непригодным, если t_bt_a, однако в области таких значений t мы не будем пользоваться этим соотношением.

Если разложенное в ряд ядро K_V [см. формулу (6.18)] подставить в соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции (b). Таким образом,

(b)

=

K

₀

(b,a)

f(a)

dx

_a

-

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,a)

d

_c

f(a)

dx

_a

+… .

(6.23)

Первый член этого разложения даёт волновую функцию для момента времени t_b в предположении, что между t_a и t_b система остаётся свободной (или невозмущённой, в последнем случае ядро K₀ нужно заменить ядром K_U). Обозначим этот член через

(b)

=

K

₀

(b,a)

f(a)

dx

_a

.

(6.24)

Используя это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как

(b)

=

(b)

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

(c)

d

_c

+

+

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,d)

V(d)

(d)

d

_c

d

_d

+… .

(6.25)

Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции . Если ограничиться только первыми двумя членами (т.е. учесть лишь первый порядок разложения по V), то получим первое борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале V. Это рассеяние происходит в точке c. До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией (c), после рассеяния система снова движется как свободная от точки c до точки b и описывается ядром K₀(b,c). Интеграл должен быть взят по всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т.е. учитывается второй порядок по V), результат называется вторым борновским приближением и т.д.

Задача 6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция (b) удовлетворяет интегральному уравнению

(b)

=

(b)

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

(c)

d

_c

.

(6.26)

Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера

-

h

i

x

+

h^2

2m

^2

+

V

=0.

(6.27)

Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шрёдингера из интегрального уравнения (6.27).

§ 4. Рассеяние электрона на атоме

Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме.

Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счётчик, как это показано на фиг. 6.4.

Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.

Электроны, испаряющиеся с электрода в точке a собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах S и S' и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке O. Бо'льшая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом в точку b. Если счётчик в точке a перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния .

Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролёта. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем t=0, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счётчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки T. Тогда можно непосредственно использовать наше выражение K(b,a), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определённый промежуток времени.