Квантовая механика и интегралы по траекториям

Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.

Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.

Электрон выходит из точки a и движется как свободная частица до точки c, где он рассеивается атомным потенциалом V(r). После рассеяния он попадает в счётчик, расположенный в точке b на конце радиуса-вектора R_b, проведённого от рассеивающего центра O. В этом случае электрон будет рассеян на угол , отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борновскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борновское приближение, и т.д.

Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки a в момент времени t=0. С помощью счётчика, помещённого в точку b, мы узнаем, достигнет ли электрон точки b в момент времени t=T. Будем приближённо считать, что

1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;

2) атом может быть представлен с помощью потенциала V(r), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.

На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом V(r). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.

Пусть R_a и R_b — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов R_a и R_b много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал V(r) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |R_a| и |R_b|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.

Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром K₀(b,a) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом

K

⁽¹⁾

(b,a)

=

-

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,a)

d

_c

=

=

-

i

h

_r

 

_T

⁰

m

2ih(T-t)

3/2

exp

im|R_a-r|^2

2h(T-t)

V(r)

x

x

m

2iht

3/2

exp

im|R_b-r|^2

2ht

d^3r

dt

.

(6.28)

Через r мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой c, d^3r — произведение дифференциалов всех компонент вектора r. Интегрирование по переменной t даёт

K

⁽¹⁾

(b,a)

=

-

i

h

m

2ihT

5/2

T

_r

 

1

r_a

-

1

r_b

x

x

exp

im

2hT

(r

_a

+r

_b

)^2

V(r)

d^3r

,

(6.29)

где r_a=|R_a-r| и r_b=|R_b-r| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать

r

_a

=R

_a

1-

2R_a·r

R^2_a

+

r^2

R^2_a

1/2

R

_a

+i

_a

·r,

(6.30)

r

_b

=R

_b

1-

2R_b·r

R^2_b

+

r^2

R^2_b

1/2

R

_b

-i

_b

·r,

(6.31)

где i_a и i_b — единичные векторы соответственно в направлениях векторов R_a и R_b (т.е. i_a=-R_a/R_a, где R_a=|R_a|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина R_a намного больше тех расстояний |r|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом V(r).

Члены первого порядка по r необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем

(r

_a

+r

_b

)^2

(R

_a

+R

_b

)^2

+

2(R

_a

+R

_b

)

(i

_a

·r)

-

(i

_b

·r)

.

(6.32)

Используя эти приближения, ядро K⁽¹⁾(b,a) можно теперь представить в виде

K

⁽¹⁾

(b,a)

-

i

h

m

2ihT

5/2

T

1

R_a

+

1

R_b

x

x

exp

im

2hT

(R

_a

+R

_b

)^2

x

x

_r

 

exp

im

hT

(R

_a

+R

_b

)

(i

_a

·r)

-

(i

_b

·r)

V(r)

d^3r

.

(6.33)

Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени T электрон проходит полное расстояние, равное R_a+R_b. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет u=(R_a+R_b)/T, его энергия равна mu^2/2, а импульс равен mu. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна im[(R_a+R_b)^2/2hT], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной T, составляет

=

m

2h

(R_a+R_b)^2

T^2

.

(6.34)