Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т.е. V(r)=V(r). Покажите, что функция v(q) может быть записана в виде

v(q)

=

v(q)

=

4h

q

⁰

r

sin

qr

h

V(r)

dr

.

(6.45)

Если допустить, что V(r) является кулоновским потенциалом Ze^2/r, то интеграл в выражении для v(q) оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т.е. при r->. Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя e^-r и после вычисления интеграла перейти к пределу при ->0. Используя этот приём, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния

_R

=

4Ze⁴m²

q⁴

=

Ze⁴

16(mu^2/2)[sin(/2)]⁴

,

(6.46)

где e — заряд электрона,

q

=

2p sin

2

=

2mu sin

2

,

(6.47)

а — угол между векторами i_a и i_b.

Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение даёт точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фазу амплитуды рассеяния. Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фазы. Таким образом, первое борновское приближение даёт правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен ещё и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т.е. проделанное в предположении, что электрон ведёт себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому результату.

Задача 6.7. Предположим, что потенциал V(r) создаётся зарядом, распределённым с плотностью (r), так что

^2V(r)

=

4e(r)

.

(6.48)

Пусть плотность (r) спадает до нуля при |r|->. Умножая соотношение (6.48) на exp [iq·(r/h)] и дважды интегрируя по переменной r, покажите что функция v(q) может быть следующим образом выражена через плотность :

v(q)

=

4h^2e^2

q^2

_r

 

e

^(i/h)(q·r)

(r)

d^3r

.

(6.49)

Атом можно описать, используя понятие плотности заряда. В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что её можно представить в виде -функции от расстояния r с коэффициентом Z, равным заряду ядра. Если _e — плотность атомных электронов, то функция v(q) в этом случае запишется как

v(q)

=

4h^2e^2

q^2

Z-

_r

 

_e

(r)

e

^(i/h)(q·r)

d^3r

.

(6.50)

Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор Z.

В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях r потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы

V(r)

=

Zd^2

r

d

^(r/a)

.

(6.51)

Через a в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь a=a₀/Z^1/3, где a₀=h^2/md^2=0,528A.

Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)

v(q)

=

4Ze^2h^2

q^2+(h/a)^2

(6.52)

и, следовательно,

=Z

²

e

⁴

mu^2

2

4

sin

2

^2

+

h^2

(pa)^2

-2

.

(6.53)

Полное эффективное сечение _T определится как интеграл от сечения по поверхности единичной сферы, т.е.

_T

=

4

⁰

d

.

(6.54)

Покажите, что это сечение имеет вид

_T

=

a^2

Z

²

e

⁴

1

(2uh)

²

1+

h^2

(2pa)^2

(6.55)

Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус

r

=

1,2·10

^-13

x(массовое число)

^1/3

см

(6.56)

в предположении, что заряд ядра распределён приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса q?

Покажите, каким образом отсюда может быть определён радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов p, чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?