Квантовая механика и интегралы по траекториям

Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой E=(m²c⁴+c²p²) ^1/2 -mc², поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.

Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов A и B, центры которых задаются векторами a и b. Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле

K

⁽¹⁾

=

e

^(i/h)(q·a)

f

_A

(q)

+

e

^(i/h)(q·b)

f

_B

(q)

,

(6.57)

где f_A и f_B — амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень лёгких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.

Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса p пропорциональна сумме f^2_A + f^2_B + 2f_Af_Acos(q·d), где d=a-b.

Вычисленные в борновском приближении амплитуды f являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжёлых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал V становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.

Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усреднённое по совокупности таких молекул, пропорционально сумме f^2_A + f^2_B + 2f_Af_A [sin (qxd)/(q·d)]. Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?

Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.

Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала V(r) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле

K

⁽²⁾

(b,a)

=

m

2h^2

2

m

2ihT

3/2

_rc

 

_rd

 

r_cd+r_ac+r_db

r_cdr_acr_db

x

x

exp

im

2hT

(r

_cd

+r

_ac

+r

_db

)^2

V(r

_c

)

V(r

_d

)

d^3r

_c

d^3r

_d

,

(6.58)

где точки a, b, c и d расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина r_cd равна расстоянию между точками c и d и т. д. Полагая, что потенциал V(r) становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с R_a, и R_b, покажите, что эффективное сечение даётся формулой =|f|^2, где f — амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:

f

=

m

2h^2

_r

 

e

^-(i/h)p_b·r

V(r)

e

^(i/h)p_a·r

d^3r

+

+

m

2h^2

^2

_rc

 

_rd

 

e

^{-(i/h)p_b·r_d}

V(r

_d

)

1

r_cd

e

^(i/h)pr_cd

x

x

V(r

_c

)

e

^{(i/h)p_a·r_c}

d^3r

_c

d^3r

_d

+члены более высокого порядка.

(6.59)

Здесь p_b — импульс электрона, вылетающего в направлении R_b, а p_a —импульс электрона, движущегося в направлении — R_a. Абсолютная величина импульса равна p, и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжёлом атоме.

Фиг. 6.9. Учёт членов второго порядка в разложении теории возмущений.

Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки a и движется как свободная частица до точки c, где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки d, где происходит ещё одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки b, где электрон попадает в счётчик. Точки c и d могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов r_c и r_d, измеряемых от центра атома O.

Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член даёт сравнительно заметную поправку (например, ~ 10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учёт второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.