Квантовая механика и интегралы по траекториям

Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом p_a. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролёта (т.е. по полному времени T, необходимому для прохождения расстояния R_a+R_b).

Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.

Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс p_a и энергию E_a=p^2_a/2m. Следовательно, волновая функция налетающих электронов

_a

=

e

^(i/h)p_a·r

e

^-(i/h)E_at

.

(6.60)

Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:

(R

_b

,t

_b

)

=

e

^{(i/h)p_a·R_b}

e

^-(i/h)E_at_b

-

-

i

h

_tb

⁰

_r

 

K

₀

(R

_b

,t

_b

;r,t)

V(r,t)

e

^(i/h)p_a·r

e

^-(i/h)E_at

d^3r

dt

.

(6.61)

Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись. Второй член — амплитуда рассеянных электронов. Если обозначить его через _s, то эта функция опишет рассеянную волну.

Задача 6.13. Предположим, что потенциал V(r,t) в действительности не зависит от времени t. Подставив в формулу (6.61) выражение ядра K₀, соответствующее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной t, покажите, что

(R

_b

,t

_b

)

=

e

^(i/h)E_bt_b

+[

e

^{(i/h)p_a·R_b}

+

+

m

2h^2

_rc

 

1

r_bc

e

^(i/h)pr_bc

V(r

_c

)

e

^{(i/h)p_a·r_c}

d^3r

_c

,

(6.62)

где r_bc — расстояние от конечной точки b до переменной точки интегрирования c, а p — абсолютная величина импульса электрона.

Предположив снова, что на небольших по сравнению с S_a и S_b расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) может быть записано как

(R

_b

,t

_b

)

=

e

^(i/h)E_bt_b

e

^{(i/h)p_a·R_b}

+

f

e^(i/h)pR_b

R_b

,

(6.63)

где амплитуда рассеяния f следующим образом выражается через функцию v(q):

f

=

m

2h^2

v(q)

(6.64)

[см. соотношение (6.35)].

Последний член формулы (6.63), функцию (f/R_b) exp (ipR_b/h), можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивающего атома. Для каждого определённого угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию f, которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса q. Таким образом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов. Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов exp (ip_a·R_b/h), второй член — сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения .

Фиг. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном ядре.

Пучок электронов можно представить в виде эквивалентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке R=O. Правее этой точки большая часть пучка будет по-прежнему двигаться как невозмущённая плоская волна с импульсом p_a Меньшая часть пучка рассеивается на ядре и расходится от точки O в виде сферической волны. Поэтому суммарная интенсивность (т.е. число электронов) в некоторой точке b, определяемой радиусом-вектором R_b, состоит из двух частей. Одна из них представляет собой нерассеянный пучок, описываемый плоской волной exp (ip_a·R_b/h). Вторая — это рассеянная сферическая волна (1/R_b) exp (ipR_b/h) с зависящей от углов амплитудой f. Комбинация этих двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка электронов после рассеяния.

Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид

V(rt)

=

U(r) const t

.

(6.65)

Покажите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную ±. Что дадут члены высших порядков?

§ 5. Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов

Амплитуда перехода. Теория возмущений оказывается особенно полезной, когда потенциал U, соответствующий невозмущённой задаче, не зависит от времени. Из соотношения (4.59) видно, что ядро в этом случае может быть разложено в ряд по собственным функциям _n и собственным значениям невозмущённой задачи

K

_U

(2,1)

=

 

ⁿ

_n

(x

₂

)

_*

ⁿ

(x

₁

)

e

^{(iE_n/h)(t₂-t₁)}

для t

₂

t

₁

(6.66)

(для простоты ограничимся случаем одномерного движения).

Рассмотрим теперь полученные ранее разложения ядра K_V(2,1), подставив в них выражение для K_U. Если выписать только два первых члена, то

K

_V

(2,1)

=

 

ⁿ

_n

(x

₂

)

_*

ⁿ