Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фиг. 6.12. Зависимость от времени потенциала, обусловливающего переход из состояния m в состояние n.

Как только зависимость от времени f(t) становится более слабой, т.е. разрывы остаются лишь в производных существенно более высоких порядков, вероятность перехода уменьшается.

Кроме того, предположим, что (E_m-E_n). Покажите что величина вероятности (6.79) уменьшается в этом случае в раз, где ={^2/[^2+(E_m-E_n)]}^2. При определении функции f(t) в виде (6.80) мы имеем ещё разрывы второй производной по времени; более гладкие функции приводят к ещё большему уменьшению величины P(n->m).

Может случиться, что значения энергии E_m и E_n будут в точности равны друг другу; в этом случае вероятность перехода P(n->m) = |V_mn|^2 T^2/h^2 и возрастает пропорционально квадрату времени. Это означает, что понятие вероятности перехода на единицу времени в данном случае не имеет смысла. Указанная выше формула применима только для достаточно малых значений T, таких, что V_mnT h. Если у нас имеются только два состояния с одинаковой энергией, то оказывается, что вероятность обнаружить систему в первом из этих состояний равна cos^2(|V_mn|T/h), а вероятность её обнаружения во втором состоянии равна sin^2(|V_mn|T/h), так что наша формула является всего лишь первым приближением к этим выражениям.

Задача 6.21. Рассмотрим такой частный случай, когда возмущающий потенциал V не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т.е. энергия E₁=E₂. Пусть V₁₂=V₂₁=v, a V₁₁, V₂₂ и все другие матричные элементы V_mn равны нулю. Покажите, что

₁₁

=

1-

v^2T^2

2h^2

+

v⁴T⁴

24h⁴

-…

=

cos

vT

h

,

(6.81)

₁₂

=

-i

vT

h

+i

v³T³

6h³

-…

=

-i sin

vT

h

.

(6.82)

Задача 6.22. В задаче 6.21 мы имели равенство V₁₂=V₂₁, поэтому матричный элемент V₁₂ является действительной величиной. Покажите, что и в том случае, когда V₁₂ — комплексная величина, физические результаты остаются теми же самыми (при этом следует положить v=|V₁₂|).

Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно. Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайно длительное время, так что V_mnT/h >> 1. Тогда, рассматривая систему в произвольный момент времени T (который до некоторой степени является неопределённым), найдём, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу. Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полезен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики.

Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния E_m не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу. Пусть (E)dE — число уровней или состояний в интервале энергий от E до E+dE. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий E_n-E_m велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблизи начальной энергии E_n (в пределах ±V_mn). Полная вероятность перехода в некоторое состояние

^m=1

P(n->m)

=

 

^m=1

|V

_mn

|^2

4 sin^2[(E_m-E_n)T/2h]

(E_m-E_n)^2

_Em

 

|V

_mn

|^2

4 sin^2[(E_m-E_n)T/2h]

(E_m-E_n)^2

(E

_m

)

dE

_n

.

(6.83)

Величина {4 sin^2[(E_m-E_n)T/2h]/(E_m-E_n)^2} очень велика, если E_mE_n и имеет наибольшее значение, равное T^2/h^2. Эта величина значительно уменьшается, когда энергии E_m и E_n существенно различны (т.е. E_m-E_n >= h/T), как это показано на фиг. 6.13. Таким образом, интеграл по переменной E_m почти целиком определяется значениями E_m, лежащими в окрестности точки E_n.

Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.

Разность энергий E_m-E_n выражена переменной x. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда x очень мало), функция sin^2x/x^2 достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии E_m и E_n приблизительно равны друг другу.

Если матричный элемент V_mn изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней (E_m) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением

4|V

_mn

|^2

(E

_n

)

_Em

 

sin^2[(E_m-E_n)T/2h]

(E_m-E_n)^2

dE

_n

.

(6.84)

Так как

^-

[(sin^2x)/x^2]dx

=,

то интеграл (6.84) равен T/2h и в результате получаем, что вероятность перехода в некоторое состояние непрерывного спектра выразится в виде

P(n->m)

=

2

|V

_mn

|^2

(E_n)T

h

;

(6.85)