Квантовая механика и интегралы по траекториям

при этом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как

dP(n->m)

dt

=

2

h

|M

_n->m

|^2

(E)

,

(6.86)

где величина M_n->m называется матричным элементом перехода, а (E) — плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент M_n->m совпадает с V_mn если же перейти к более высоким порядкам разложения по _mn, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.

Выражение (6.86) можно записать иначе, а именно как вероятность перехода за единицу времени из состояния n в некоторое заданное состояние m.

dP(n->m)

dt

=

2(E_n-E_m)|M_n->m|^2

h

(6.87)

Тогда, после того как мы просуммируем по всем состояниям m, останутся лишь те, для которых E_n=E_m. Сделав замену

 

^m

->

dE

_m

(E

_m

)

,

получим в результате формулу (6.86).

Выражение (6.86) мы можем проиллюстрировать на примере (который ранее был рассмотрен с несколько другой точки зрения) рассеяния электрона в потенциальном поле (см. § 4). Предположим, что на свободную частицу действует центральная сила с потенциалом V(r) и мы хотим изучить рассеяние этой частицы при переходе из некоторого начального состояния с определённым значением импульса в конечное состояние с другим значением импульса, имеющим новое направление. Будем считать, что начальное состояние n описывается плоской волной с импульсом p₁ так что волновая функция _n имеет вид exp (ip₁·r/h) (функция нормирована таким образом, чтобы интеграл от квадрата модуля |_n|^2 по единичному объёму был равен единице). Допустим, что конечное состояние также описывается плоской волной с импульсом p₂ и, следовательно, его волновая функция _m есть exp (ip₂·r/h). Тогда для матричного элемента V_mn будем иметь

V

_mn

=

_r

 

e

^{-(i/h)p₂·r}

V(r)

e

^(i/h)p₁·r

d^3r

=

v(p)

,

(6.88)

где p=p₂-p₁. В процессе такого рассеяния энергия будет сохраняться, поэтому p^2₂/2m=p^2₁/2m. Это означает, что абсолютные значения импульсов p₁ и p₂ равны. Положим их равными p, т.е.

|p

₁

|

=

|p

₂

|

=

p.

В соответствии с принятым нами соглашением относительно записи элемента объёма в импульсном пространстве число состояний, имеющих импульсы в элементе объёма d^3p₂, равно d^3p₂/(2h)^3 = p^2 dp d/(2h)^3, где d — элемент телесного угла, содержащий вектор импульса p₂. Дифференциал энергии dE и элементарный объём в пространстве импульсов связаны соотношением

dE

=

d

p^2

2m

=

p dp

m

.

(6.89)

Таким образом, плотность импульсных состояний частиц, вылетающих в телесный угол d,

d(E)

=

1

dE

d^3p₂

(2h)^3

=

mp d

(2h)^3

=

(E) d

.

(6.90)

Подставив эти соотношения в формулу (6.86), определим вероятность перехода за 1 сек в элемент телесного угла d:

dP

dt

=

1

2h^2

^2

mp d

|v(q)|^2

.

(6.91)

Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол d) как d (ср. § 4 и 6 ). Так как в качестве исходных мы взяли волновые функции _n, нормированные на единичный объём (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объёме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь d в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц u₁=p₁/m. Поэтому

dP

dt

d

=

u

₁

d

=

p₁

m

d

.

(6.92)

Для эффективного сечения отсюда следует выражение

d

d

=

m

2h^2

^2

|v(q)|^2

,

(6.93)

которое в точности совпадает с ранее полученным выражением

Задача 6.23. Покажите, что для сечения d/d получится тот же самый результат и в том случае, если волновая функция _n нормирована на единицу в некотором произвольном объёме V.

Задача 6.24. Пусть потенциал V — периодическая функция времени. Например, положим V(x,t) = V(x)(e^it+e^-it). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним из следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого E_кон=E_нач+h (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где E_кон=E_нач-h (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний (E) должна вычисляться для этих новых значений E. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем

dP(n->m)

dt

=

2

h

|M

_n->m

|^2

[(E

_m

-E

_n

-h)

+(E

_m

-E

_n

+h)]

.

(6.94)

Задача 6.25. Явление фотоэффекта показывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление заключается в том, что свет частоты , попадая на тонкий слой металла, с определённой вероятностью вызывает испускание электрона с энергией h. Возможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волна? Какие соображения (используя результаты задачи 6.24) вы можете привести в пользу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики?

Задача 6.26. Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня E₁ и E₂ и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида V(x,t) = V(x)f(t). Покажите, что вероятность перехода составит

P(n->m)

=

|V

₁₂

|^2

|(

₀