Квантовая механика и интегралы по траекториям

)|^2

,

(6.95)

если функцию f(t) можно представить в виде интеграла Фурье

f(t)

=

^-

e

^it

d

2

(6.96)

и положить ₀=(E₂-E₁)/h. В случае, когда f(t) — известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина , определяемая обратным преобразованием

=

_T

^-T

f(t)

e

^it

et

,

(6.97)

оказывается зависящей от размеров T области изменения переменной интегрирования t, T. Если T очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины |(₀)|^2 пропорционален T. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную произведению времени и «интенсивности» f на единицу интервала частоты, взятую при значении ₀ («интенсивность», или «мощность», равна среднеквадратичному значению функции f за время 1 сек). Таким образом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (E₂-E₁)/h.

Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний m и n потенциал V_mn. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния k/=m для которых V_km/=0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку n/=m, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.

Предположим, что потенциал V не зависит от времени t. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен ^2_mn, и если T=t₂-t₁, то из соотношения (6.74) будет следовать, что

e

^{(i/h)(E_mt₂-E_nt₁)}

₍₂₎

^mn

=-

1

h^2

 

^k

V

_mk

V

_kn

_T

⁰

dt

₄

_t3

⁰

dt

₃

x

x

e

^{(i/h)(E_m-E_k)t₄}

e

^{(i/h)(E_k-E_n)t₄}

=

=

i

h

 

^k

V

_mk

V

_kn

_T

⁰

e

^{(i/h)(E_m-E_k)t₄}

(e

^{(i/h)(E_k-E_n)t₄}

-1)

dt₄

E_k-E_n

=

=

 

^k

V_mkV_kn

E_k-E_n

e^{(i/h)(E_m-E_n)T}-1

E_m-E_n

-

e^{(i/h)(E_m-E_k)T}-1

E_m-E_k

.

(6.98)

Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной T, описывает переход в состояния с энергией E_m=E_n. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент M_n->m принимает вид

M

_n->m

=

 

^k

V_mkV_kn

E_k-E_n

.

(6.99)

Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.

Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние m, но и в любое состояние k, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае V_kn=0 для всех состояний, у которых E_k=E_n. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность E_n-E_k почти равна нулю, но при этом и величина V_kn в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по k в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке E_k=E_m, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении E_k, что и знаменатель.

С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ->0 и даёт нам математически правильное выражение:

M

_n->m

=

V

_mn

+

 

^k

V_mkV_kn

E_k-E_n-i

(6.100)

(для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит.

Прежде всего следует заметить, что при больших значениях T мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную T) лишь в том случае, когда энергии E_n и E_m практически равны друг другу (с точностью до величин порядка h/T). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда E_kE_m; если же энергия E_m не слишком близка к E_n, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией E_k для всех значений E_k, близких к E_m. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи E_k=E_m, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор

e^(i/h)T-1

d

,

где =(E_m-E_k). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от - до +. Имеем

^-

e^(i/h)T-1

d

=

_T/h

^-T/h

e^iy-1

y

dy

=

_T/h

^-T/h

cos y-1

y

+

i sin y

y

dy

.

(6.101)