Квантовая механика и интегралы по траекториям

Во втором порядке это равенство даёт точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т.е. решая уравнение

(H+V)

=

E

.

(6.117)

Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчёта энергетических сдвигов.

В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим. В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных T, T^2 и т.д. Затем, если мы вспомним, что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте exp(-iET/h) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для E.

До сих пор мы ещё не рассмотрели последний член в формуле (6.115). Если состояние E_k лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы это делали при рассмотрении членов второго порядка в случае n/=m, то можно показать, что эти дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный T, и приведут к поправке в уравнении (6.116)

'E

_k

=

-i

 

^k

(E

_m

-E

_k

)

V

_mk

V

_km

.

(6.118)

Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через -i/2 (множитель 1/2 вводится для удобства) и запишем

E

_k

-

i

2

=

V

_mm

 

^k

|V_mk|^2

E_m-E_k-i

.

(6.119)

Отсюда следует, что амплитуда перехода _mm, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии m, пропорциональна экспоненте

exp

-i

E

_m

-

i

2

T

=

exp[-i(

E

_m

)T]

exp

-

^T

2

.

Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что через время T система по-прежнему будет пребывать в состоянии m; эта вероятность равна _mm=exp(-T) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определённая вероятность перехода системы из состояния m в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина является полной вероятностью (в расчёте на единицу времени) перехода из состояния m в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии. Из уравнения (6.118) следует, что

=

 

^k

2

(E

_m

-E

_k

)

|V

_mk

|^2

.

(6.120)

Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесённая к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), взятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по V.

Величина, обратная , называется средним временем жизни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определённой энергии. В соответствии с принципом Гейзенберга неопределённость энергии E=(h/время жизни) т.е. E=.

Если поставить эксперимент для определения различия энергий двух уровней, каждый из которых имеет ширину , то мы обнаружим, что резонанс не является острым, а имеет сглаженную форму. Центр резонансного пика определяет разность энергий, а его ширина — сумму значений для данных двух уровней.

Глава 7

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРЕХОДА

В гл. 6, рассматривая вопросы, связанные с изменением состояний квантовомеханической системы, мы развивали общие представления теории возмущений. В связи с этим мы рассмотрели и исследовали системы, основное состояние которых описывается постоянным во времени гамильтонианом. Теперь продолжим изучение метода теории возмущений и обобщим его на случай систем, у которых невозмущённое состояние описывается гамильтонианом, изменяющимся со временем. С этой целью введём более общие обозначения и попытаемся несколько шире рассмотреть вопрос о том, каким образом происходит изменение состояния квантовомеханической системы. Эти новые обозначения будут введены в переменные и некоторые специальные функции, так называемые матричные элементы перехода.

Всю эту главу можно разделить на четыре части. Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей § 2—4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (§ 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определённые с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определённые с помощью обычных квантовомеханических операторов. Наконец, в последней части (§ 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.

§ 1. Определение матричных элементов перехода