Квантовая механика и интегралы по траекториям

Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.

Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.

Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: S=S₀+, где S₀ приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть а достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде

e

^iS/h

=

e

^iS₀/h

e

^i/h

.

(7.4)

Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде

|1|

_S0+

=

|e

^i/h

|

_S0

,

(7.5)

а после разложения экспоненты в ряд получим

|1|

_S0+

=

|1|

_S0

+

i

h

||

_S0

-

1

2h^2

|^2|

_S0

+… .

(7.6)

Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.

Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия связаны соотношением

=

V[(t),t]

dt

.

(7.7)

В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода

|1|

_S0

=

|V[x(t),t]|

_S0

dt

.

(7.8)

Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл

|V[x(t),t]|

_S0

=

=

_x2

^x₁

*(x

₂

)

e

^iS₀/h

V[x(t),t]

(x

₁

)

dx

₁

dx

₂

Dx(t)

.

(7.9)

Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8) — (6.11) при вычислении ядра K⁽¹⁾. Выражение для интеграла по траекториям получается путём интегрирования по координатам обеих конечных точек x₁ и x₂ и по координатам промежуточной точки x₃ [обозначенной в соотношении (6.10) через c]. Таким образом,

|V[x(t),t]|

_S0

=

*(x

₂

)

K

₀

(2,3)

V(3)

K

₀

(3,1)

(x

₁

)

dx

₁

dx

₂

dx

₃

.

(7.10)

Мы получили это выражение, основываясь на трёх допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определённом состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11). Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадратмодуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии , может под действием малого возмущающего потенциала V(x,t) перейти далее в состояние (если это последнее не является состоянием системы при V=0, т.е. если |1|=0).

Соотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращённые обозначения подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию (x₃t₃) как

(3)

=

K

₀

(3,1)

(x

₁

)

dx

₁

.

(7.11)

Это — волновая функция в момент t₃, возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию

*(x

₃

,t

₃

)

=

*(x

₂

)

K

₀

(2,3)

dx

₂

,

(7.12)

комплексно сопряжённую волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент t₃ будет совпадать с функцией (x₂) в момент t₂ [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7].

С помощью вновь введённых волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто:

|

V[x(t),t]

dx

|

_S0

=

^3(3)

V(3)

(3)

dx

₃

dt

₃

,

(7.13)

откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода _mn, введённой в § 5 гл. 6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой ^1_mn, определяемой соотношением (6.70).

Таким образом, вычисление элемента перехода для функционала F[x(t)], зависящего от времени t только через x(t), как и вычисление интеграла по времени от такого функционала, не вызывает затруднений. Легко вычисляется и элемент перехода для функционалов, зависящих от функций x, определённых для двух разных моментов времени. Такая задача встречается, например, при рассмотрении члена второго порядка ряда теории возмущений. Этот член можно записать в виде

1

2h^2

|^2|

_S0

=

1

2h^2

|

V[x(t),t]

V[x(s),x]

|

dt

ds

.

(7.14)

Подынтегральное выражение в этом соотношении само по себе является матричным элементом перехода и может быть представлено как

|

V[x(t),t]

V[x(s),s]

|

=

*(4)

V(4)

K

₀

(4,3)

V(3)

(3)

dx

₃

dx

₄

,

(7.15)

где мы обозначили t₃=s; t₄=t для случая st и t₃=t; t₄=s для st.

Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид

1

2h^2

|

V[x(t),t]

dt

V[x(s),s]

ds

|

=

=

*(4)

V(4)

K

₀

(4,3)

(3)

dx

₃

dt

₃

dx

₄

dt

₄

,

(7.16)