Квантовая механика и интегралы по траекториям

Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной . Действие S в этом случае запишется как

S

=

_N-1

ⁱ⁼¹

m

(x_i+1-x_i)^2

2

-

V(x

_i

)

.

(7.38)

Если выбрать некоторый момент времени t_k и, как прежде, обозначить через x_k соответствующую точку траектории, то

S

x_k

=

m

x_k+1-x_k

-

x_k-x_k-1

+

V'(x

_k

)

.

(7.39)

Учитывая теперь (7.33), получаем

F

x_k

_S

=-

i

h

F

m

x_k+1-2x_k+x_k-1

^2

+

V'(x

_k

)

.

(7.40)

В этом последнем соотношении член, содержащий ^2 в знаменателе, фактически является ускорением x в момент времени t_k. Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если вариация x(k) равна нулю для всех моментов t, отличных от t_k. Если же в (7.37) положить x(k) равной x_k(t-t_k), то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых k, то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.

Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили F1. Тогда F=0 и

-

i

h

[mx

+V'(x)]

x(t)

dt

=0.

(7.41)

Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций x(t), то в любой момент времени будет выполняться равенство

mx

=-

V'(x)

.

(7.42)

Это выражение является квантовомеханическим аналогом закона Ньютона. Если для матричного элемента перехода воспользоваться классической аналогией, рассмотренной в § 1, то можно сказать, что в каждый момент времени произведение «средней взвешенной» массы на ускорение, «усреднённое» по всем траекториям с весом e^iS/h, равно «среднему» значению силы (т.е. градиенту потенциала, взятому с обратным знаком) в тот же самый момент времени.

В качестве другого примера рассмотрим случай, когда F является произвольным (но не равным тождественно нулю) функционалом от всех пространственных переменных, исключая x_k. Тогда левая часть соотношения (7.40) обращается в нуль (поскольку aF/at_k=0) и мы имеем

F(

t

₁

,t

₂

,

…,

t

_k-1

,t

_k+2

,

…,

t

_N

)

x

x

m

x_k+1-2x_k+x_k-1

^2

+

V'(x

_k

)

=0.

(7.43)

Из этого соотношения видно, что усреднённый по всем тракториям матричный элемент выражения mx+V'(x) обращается в нуль в момент t_k даже в том случае, если усреднение проводится с произвольным весом, лишь бы весовой функционал не зависел от точки траектории, относящейся к моменту t_k.

Допустим теперь, что функционал зависит от этой точки; для простоты выберем его, например, равным x_k. Применив соотношение (7.40), получаем

1

=

i

h

m

x

_k

x_k+1-2x_k+x_k-1

^2

x

_k

V'(x

_k

)

=

=

i

h

m

x

_k

x_k+1-x_k

-

x_k-x_k-1

x

_k

V'(x

_k

)

.

Если предположить, что потенциал V—гладкая функция, то в пределе при ->0 величина x_kV'(x_k) станет пренебрежимо малой по сравнению с другими членами и выражение (7.44) принимает вид

m

x_k+1-x_k

x

_k

-

m

x

_k

x_k-x_k-1

=

i

h

1

.

(7.45)

Последнее соотношение содержит произведение пространственной переменной x и импульса mx. В первом члене импульс линейно усреднён для момента t_k+/2, а пространственная переменная относится к моменту t_k. Во втором члене её значение снова относится к моменту t_k в то время как значение импульса соответствует моменту t_k-/2. Таким образом, из этого уравнения видно, что матричный элемент перехода произведения пространственной координаты и импульса зависит от порядка моментов времени, в которые определялись эти две величины.

Позднее, когда мы перейдём к более привычным операторным обозначениям, будет видно, что оба операторных уравнения, соответствующие уравнению (7.42), и правило коммутации операторов (7.45) получаются из одного и того же фундаментального соотношения (7.34).

Из выражения (7.45) можно сделать дальнейшие выводы, которые дадут нам лучшее представление о свойствах траектории, играющих важную роль в квантовой механике. Рассмотрим порознь

x

_k

m

x_k-x_k-1

(7.46)

и

x

_k+1

m

x_k+1-x_k

.

(7.47)

Эти члены отличаются один от другого на величину порядка , поскольку они представляют собой одну и ту же величину, вычисленную в два различных момента, отличающихся на . Поэтому можно подставить выражение (7.47) вместо второго члена соотношения (7.45). В результате получим

m

x_k+1-x_k

(x

_k

-x

_k+1

)

=

i

h

1

.

(7.48)

Можем записать это и по-другому:

x_k+1-x_k

^2

=

i

hm

1

.

(7.49)

Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок 1/ и неограниченно растёт, когда стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что основные траектории квантовомеханической частицы не имеют вида гладкой кривой с определённым наклоном (т.е. с определённой скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на фиг. 7.1. На самом деле эта хаотичность такова, что если для определения «среднего» воспользоваться классическими понятиями, то «среднеквадратичной» скорости просто не будет существовать.

Фиг. 7.1. Типичные траектории квантовомеханической частицы.