Квантовая механика и интегралы по траекториям

В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию x(t) заменить на x(t)+(t), то все значения x_i заменятся на x_i+_i, где _i=(t_i), поэтому в первом приближении получаем

F(…,

x

_i

+

_i

,

x

_i+1

+

_i+1

,

…)-

-

F(…,

x

_i

,

x

_i+1

,

…).

=

 

ⁱ

F

x_i

_i

,

(7.23)

что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (1/)(F/x_i)=K_i, то сумма в (7.23) запишется как

 

ⁱ

K

_i

_i

и в пределе при ->0 перейдёт в интеграл K(t)(t)dt, так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной F/x(s).

Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение

df

=

 

ⁱ

f

x_i

dx

_i

,

и для первой вариации любого заданного функционала F получим

F

=

F

x(s)

x(s)

ds

,

(7.24)

где x(s) вариация траектории x(s).

Задача 7.1. Для действия, заданного в виде

S=

_t2

_t1

L(x,x,t)

dt

,

покажите, что в любой точке s между t₁ и t₂ выполняется равенство

S

x(s)

=-

d

ds

L

x

+

L

x

,

(7.25)

где все частные производные взяты при t=s.

Задача 7.2. Покажите, что при F[x]=x.

F

x(s)

=

(-s).

(7.26)

Задача 7.3. Покажите, что если

F=exp

1

2

…

j(r

₁

,t

₁

)

j(r

₂

,t

₂

)

x

x

R

(r

₁

-r

₂

,t

₁

-t

₂

)

d^3r

₁

d^3r

₂

d^3t

₁

d^3t

₂

,

то производная F/j(d,s) будет иметь вид

F

j(d,s)

=

-

R

(r-r',t-t')

j(r',t')

dr'

dt'

F.

(7.27)

Заметим, что j(r,t) является функцией четырёх переменных (x,y,z,t). Поэтому для описания точки, в которой берётся функциональная производная, координату s в интегралах [вида, например, соотношения (7.14)] надо заменить набором всех четырёх этих аргументов.

Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной F/x(s). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент

F

_S

=

F[x(t)]

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

(7.28)

и в интеграле по траекториям функцию x(t) заменим на x(t)+(t). Для каждого фиксированного значения (t) выполнено равенство D[x(t)+(t)]=Dx(t) [поскольку d(x_i+_i) = d(x_i)]. Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков

F

_S

=

F[x(t)+(t)]

e

^{(i/h)S[x(t)+(t)]}

Dx(t)

=

=

F[x(t)]

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

+

F

x(s)

(s)

d(s)

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

+

+

i

h

F[x(t)]

s

x(s)

(s)

d(s)

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

+… ,

(7.29)

получаем, что член нулевого порядка в точности равен F_S. Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции (S) должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение

F

x(s)

_S

=-

i

h

F

s

x(s)

_S

.

(7.30)

Из этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и ещё раз получить выражение (7.6). Если речь идёт о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что это обобщение содержится в функции S, в экспоненте e^iS/h, или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальной форме. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30).

Можно получить ещё одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на -отрезки, а функционалы заменить функциями переменных x(i), соответствующих моментам t(i). Рассматривая далее интеграл по траекториям

F

x_k

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

,

(7.31)

где t_k — некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам x_i. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:

F

x_k

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

=

i

h

S

x_k

e

^(i/h)S[x(t)]

Dx(t)

.

(7.32)

Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.

Окончательно имеем

F

x_k

_S

=-

i

h

F

S

x_k

_S

.

(7.33)

Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме

F

_S

=-

i

h

FS

_S

(7.34)

так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции F и S.

Задача 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты. Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная dF/dr_kS.

§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов

Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала V[x(t)].

Предположим, что вдоль траектории частицы действие задаётся выражением

S=

_t2

_t1

mx^2

2

-V[x(t)]

dt

.

(7.35)

Если каждая траектория сдвигается на малую величину x(t), то в первом приближении

S

-=

_t2

_t1

[mx+V'[x(t)]

x(t)

dt

.

(7.36)

Из соотношения (7.34) в этом случае следует

F

_S

=-

i

h

F

_t2

_t1

[mx+V'[x]

x(t)

dt

.

(7.37)