Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 4. Общие соотношения для квадратичной функции действия

Если функция действия S имеет квадратичную форму, то очевидно, что матричные элементы перехода для многих функционалов могут быть определены достаточно просто. Стало быть, можно попытаться обобщить наши исследования на некоторые функционалы более общего вида. Методика такого обобщения была уже описана в § 5 гл. 3. Заметим, например, что если действие S квадратично, то матричный элемент перехода функционала можно представить в виде e^i/hf(t)x(t)dt, где f(t) — произвольная функция времени. Его можно выразить интегралом

exp

i

h

f(t)x(t)

dt

=

_b

^a

exp

i

h

S+

f(t)x(t)

dt

Dx(t)

.

(7.67)

Если исходное действие S выражено функцией Гаусса, то новое действие

S'

=

S+

f(t)x(t)

dt

.

Теперь интеграл по траекториям в правой части выражения (7.67) может быть вычислен известными нам методами (§ 5 гл. 3). Обозначив через S'_кл экстремум действия S', вынесем в (7.67) множитель exp(iS'_кл/h) за интеграл. Под интегралом остаётся функция, интегрируемая вдоль траектории y(t) от точки y(0)=0 до точки y(T)=0, т.е. от начала до конца интервала (здесь мы полагаем x=x+y, где x — классическая траектория, соответствующая экстремуму действия).

Интеграл вдоль траектории y не зависит от функции f(t), поскольку она входит в действие S' как коэффициент перед линейным членом x(t). Мы уже видели [см. выражение (3.49)], что в оставшуюся часть такого интеграла входят лишь квадратичные члены функции S', которые представляют собой не что иное, как квадратичную часть функции S. Поэтому интеграл по траектории в правой части соотношения (7.67) превращается в экспоненту, умноженную на матричный элемент перехода 1. В результате получаем

exp

i

h

f(t)x(t)

dt

=

exp

i

h

S'

_кл

-S

_кл

1.

(7.68)

Мы уже рассматривали экстремум функции S'_кл. Отсюда можно получить экстремум функции S_кл, если положить f(t) тождественно равной нулю. Заметим, что действие для гармонического осциллятора, определяемое выражением (3.68), является частным случаем функции действия S'_кл.

Задача 7.9. Используя полученный выше результат, покажите, что если функция S соответствует гармоническому осциллятору, т.е.

S

=

m

2

x^2

dt

-

m^2

2

x^2

dt

,

то

exp

i

h

f(t)x(t)

dt

=

1

exp

i

h

m

2sin (t₂-t₁)

x

x

2x₂

m

_t2

^t₁

f(t)

sin (t-t

₁

)

dt

+

2x₁

m

_t2

^t₁

f(t)

sin (t

₂

-t)

dt

-

-

2

m^2^2

_t2

^t₁

_t

^t₁

f(t)

f(s)

sin (t

₂

-t)

sin (t-t

₁

)

ds

dt

,

где x₁, x₂,— начальные и конечные координаты для осциллятора.

Из матричного элемента перехода, заданного выражением (7.68), можно получить элемент перехода для координаты x(t). Продифференцируем для этого соотношение (7.68) по f(t):

x(t)

exp

i

h

fx

dt

=

i

h

f(t)

exp

i

h

(S'

_кл

-S

_кл

)

1

=

=

S'_кл

f(t)

exp

i

h

(S'

_кл

-S

_кл

)

1

.

(7.69)

Полагая в обеих частях этого равенства f(t)0, получаем

x(t)

=

1

S'_кл

f(t)

f0

.

(7.70)

Этот процесс можно продолжить до второй производной:

x(t)x(s)

=

i

h

^2

^2

f(t)f(s)

exp

i

h

(S'

_кл

-S

_кл

)

f0

1

=

=

1

i

h

^2S'_кл

f(t)f(s)

+

S'_кл

f(t)

S'_кл

f(s)

f0

.

(7.71)

Действительно, поскольку функция S'_кл квадратична только по переменной f [ср. выражение (3.66)], то матричный элемент перехода для произведения любого числа координат x' можно выразить непосредственно через производную S'_кл/f(t) и величину ^2S_кл/f(t)f(s), не зависящую от f. Все это, очевидно, следует из соотношений (7.64) и (7.65) и позволяет нам записать матричный элемент перехода для произведения трёх координат, что и будет сделано ниже.

Задача 7.10. Покажите, что если

x(t)

=

x

(t)

1

 и

x(t)x(s)

=

[

x

(t)

x

(s)

+

g(t,s)

]1

,

то для любого квадратичного функционала

x(t)x(s)x(u)

=

=

[

x

(t)

x

(s)

x

(u)

+

x

(t)

g(s,u)

+

x

(s)

g(t,u)

+

x

(u)

g(t,s)

]1

.

Найдите матричный элемент перехода произведения четырёх координат x, допустив, что поскольку S'_кл-S_кл квадратично по переменной f и равно нулю при f=0, то это выражение должно иметь вид

S'

_кл

-S

_кл

=

1

2

f(t)

f(s)

g(t,s)

dt

ds

+

x

(t)

f(t)

dt

,

где g и x - некоторые функции.

§ 5. Матричные элементы перехода и операторные обозначения

В этом и следующем параграфах покажем, как матричные элементы перехода выражаются в обозначениях, общепринятых для волновых функций и операторов. Это поможет тому читателю, который ранее встречался с другой формой записи, выразить результаты вычислений интегралов по траекториям в более привычном для себя виде.

Если функция F зависит только от переменной x и одного момента времени t [иными словами, если функция F совпадает с функцией V(x_k), взятой в момент времени t_k], то из соотношения (7.10) мы знаем, как в этом случае оценить элемент перехода. Подобным же образом [из выражения (7.15)] можно получить оценку для матричного элемента перехода, если функция F зависит от одной координаты x(t) и двух различных моментов.

Пусть функция F является некоторым импульсом, рассматриваемым в момент времени t_k. Воспользуемся уже известным нам приближением и разобьём ось времени на отрезки длины ; тогда

F

=

m

(x

_k+1

-x

_k

)

(7.72)

и, следовательно,

m

(x

_k+1

-x

_k

)

_S

=

m

(

|x

_k+1

|

_S

-

|x

_k

|

_S

).

(7.73)

Правую часть выражения (7.73) можно записать в виде

m

*(x,t+)

x

(x,t+)

dx

-

*(x,t)

x

(x,t)

dx

.

(7.74)