Квантовая механика и интегралы по траекториям

Воспользуемся теперь волновым уравнением. Из задачи 4.3 (гамильтониан H соответствует действию S) следует, что

(x,t+)

=

(x,t)

+

t

=

-

i

h

H

,

(7.75)

*(x,t+)

=

*(x,t)

+

*

t

=

*+

i

h

(H)*

.

(7.76)

Тогда в первом приближении по имеем

*(x,t+)

x

(x,t+)

dx

=

*(x,t)

x

(x,t)

dx

-

-

i

h

*(x,t)

x

[H(x,t)]

dx

-

[H**(x,t)]

x

(x,t)

dx

.

(7.77)

С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как *(x,t)[Hx(x,t)]dx; упрощая, запишем в операторном виде

|mx|

=-

im

h

*

(xH-Hx)

dx

.

(7.78)

Это ничем не отличается от соотношения

-

i

h

m

*

h^2

m

x

dx

*

h

i

x

dx

,

(7.79)

где мы применили результат задачи 4.4. Оператор (h/i)(/x) обычно называется оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим x-компоненту импульса. Структура матричного элемента перехода для величины mx соответствует постановке оператора (h/i)(/x) между функциями * и ; аналогично в матричном элементе перехода для величины x мы помещаем x между теми же функциями. Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть

(p)

=

^-

(x)

e

^-(i/h)px

dx

,

(p)

=

^-

(x)

e

^-(i/h)px

dx

(7.80)

являются импульсным представлением функций и ; тогда можно показать, что

^-

*(x)

h

i

(x)

x

dx

=

^-

*(p)

p(p)

dp

.

(7.81)

Задача 7.11. Докажите соотношение (7.81).

Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением

|1|

=

*(x

_N

,t

_N

)

K(x

_N

,t

_N

;x

₁

,t

₁

)

(x

₁

,t

₁

)

dx

₁

dx

_N

.

(7.82)

Предположим далее, что вся ось x₁ смещена вправо на малый отрезок . Обозначив новую координату x'₁, имеем

x

₁

=

x'

₁

-

.

(7.83)

Заменив старые переменные x₁ на новые, мы не изменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82):

|1|

=

^-

^-

_xN

^x'₁

(x

_N

,t

_N

)

exp

i

h

_N-1

ⁱ⁼²

S

[x

_k+1

,t

_k+1

;x

_k

,t

_k

]

+

+

i

h

S

[x

₂

,t

₂

;x'

₁

-

,t]

(x'

₁

-

,t)

Dx(t)

dx'

₁

dx

₂

,

(7.84)

где интеграл по траекториям явно выражен при помощи методики, применявшейся ранее в соотношении (2.22).

Разложим теперь функции S[x₂,t₂;x'₁-,t] и (x'₁-,t) в ряд Тейлора, где сохраним лишь члены первого порядка. Тогда подынтегральная экспонента сведётся к выражению

exp

_N-1

ⁱ⁼²

i

h

S

[x

_k+1

,t

_k+1

;x

_k

,t

_k

]

x

x

1-

i

h

x'₁

S[x

₂

,t

₂

;x'

₁

,t

₁

]

.

(7.85)

В интеграле, определяющем амплитуду перехода, можно опустить штрих, поскольку x'₁ — переменная интегрирования. Тогда соотношение (7.84) примет вид

x|1|

=

*(2)

K(2,1)

(1)

dx

₁

dx

₂

-

i

h

*(2)

K(2,1)

x

x

₁

x₁

S[x

₂

,t

₂

;x

₁

,t

₁

]

+

h

i

x₁

(x

₁

,t

₁

)

dx

₁

dx

₂

,

(7.86)

где мы предположили, что точка x₂ находится на траектории x(t) и отстоит на интервал от точки x₁ т.е. что t₂=t₁+.

Первый член в правой части соотношения (7.86) совпадает с амплитудой вероятности перехода в левой части. Это значит, что второй член равен нулю; но он представляет собой комбинацию двух матричных элементов перехода. Поэтому

-

x₁

S[x

₂

,t

₁

+;x

₁

,t

₁

]

=

|1|

h

i

(x₁,t₁)

x₁

.

(7.87)

В согласии с выражением (2.22) мы применили здесь классическое действие вдоль каждого участка траектории. Поэтому функция S[2,1], появляющаяся в соотношении (7.87), является классической функцией действия для начала траектории. Её производная по x₁ (взятая с обратным знаком) равна классическому значению импульса от x₁. Следовательно, можно написать

|p

₁

|

=

|1|

h

i

x₁

.

(7.88)

что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).

В случае усложнения функции действия S, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал p(t), соответствующий импульсу в момент времени t. В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода |1| (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим моментам t, смещены на -) равна произведению этого сдвига на матричный элемент |p(t)|. Отсюда для сколь угодно сложной функции S можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определён гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как это делалось в § 7 гл. 7.

Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция V зависит только от пространственных координат, то

dV

dt

=

V(x_k+1)-V(x_k)

=

i

h

^-

*

(HV-VH)

dx

.

(7.89)

Рассмотрите случай, когда V является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной dV/dt совпадает с матричным элементом для оператора (i/h)(HV-VH)+V/t.

Задача 7.13. Покажите, что

|mx|

=

i

h

^-

*

(Hp-pH)

dx

.

(7.90)

а также, что для любой величины A (записанной через операторы или любым другим способом) производная A/t равна

A

t

+

i

h

(HA-AH)

.

Если рассмотреть выражение для функции F, зависящей от двух последовательных очень близких значений координат:

F

=

m(x_k+1-x_k)

x

_k

,

(7.91)

то, очевидно, получим

|F|

=

1

^-

^-

*

(x;t+)

mx

K(x,t+;y,t)

y

(y,t)

dy

dx

-

1

*(x,t)

mx^2

(y,t)

dx

,

(7.92)

где t=t_k. Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили

^-

K(x,t+;y,t)

f(y)

dy

=

f(x)

+

i

h

Hf(x)

.

(7.93)

Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен

1

^-

*

(x;t+)

mx

1+

i

h

H

x

(x,t)

dx

.

(7.94)

Выразив функцию * при помощи соотношения (7.76) и использовав эрмитовость гамильтониана H, преобразуем рассматриваемый интеграл к виду

1

^-

*

(x;t)

1-

iH

h

mx

1+

i

h

H

x

(x,t)

dx

=

=

1

^-

*

(x;t)

mx^2

(x,t)

dx

+

1

h

^-

*

(x;t)

m

(xH-Hx)

x

(x,t)

dx

.

(7.95)

Тогда окончательно имеем

|m

x_k+1-x_k

x

_k

|

=

i

h

*(x;t)

m

(xH-Hx)

x