Квантовая механика и интегралы по траекториям

(x,t)

dx

=

=

*(x;t)

px

(x,t)

dx

.

(7.96)

Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78).

Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода. Если интервал времени конечен и равен t, то в элемент перехода надо включить ядро K=exp [-(i/h)St], соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7.16). Когда расстояние е между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро K приближается к -функции, откуда и следует указанное выше правило.

Задача 7.14. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины (m/) (x_k+1-x_k)f(x_k+1) совпадает с амплитудой для (f·p)

Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т.е.

m

x_k+1-x_k

m

x_k-x_k-1

=

^-

*(y,t)

pp

(x,t)

dx

dy

=

=

-h^2

^-

*(y,t)

^2

x^2

(y,t)

dx

dy

.

(7.97)

Задача 7.16. Покажите, что

x

_l

mx_k+1-x_k

=

*(x,t)

x

K(x,t;y,s)

h

i

y

(y,s)

dx

dy

,

(7.98)

если y_l=y и y_k=s при y_ly_k. Что будет, если y_ly_k?

Заметим, что p^2 соответствует произведению pp (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7.15), что не равно простому квадрату импульса |m^2(x_k+1-x_k)^2/^2|, взятого в один определённый момент времени. Последнее выражение при ->0 неограниченно возрастает как mh/i что очевидно из соотношения (7.49). Разность между выражением mh/i и левой частью уравнения (7.97) в пределе составляет как раз p^2, т.е.

m^2(x_k+1-x_k)^2

^2

=

mh

i

|1|

+

+

m

x_k+1-x_k

m

x_k-x_k-1

.

(7.99)

Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая

F

=

m

(x

_k+1

-x

_k

).

§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала

Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:

L

=

m

2

|r|^2

+

eV(x,y)

-

e

c

r

·

A(r,y)

.

(7.100)

Пусть потенциал V равен нулю; мы учтём лишь векторный потенциал A, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив

S

₀

=

m

2

|r|^2

dy

,

=

-

e

c

r

·

A(r,y)

dy

,

запишем разложение в ряд теории возмущений и введём соответствующие матричные элементы перехода:

e

^i/h

_S0

=

1

_S0

+

i

h

_S0

-

1

2h^2

^2

_S0

+… .

(7.101)

Член первого порядка равен величине -ie/hc умноженной на выражение

r

·

A(r,y)

dy

.

(7.102)

Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения для дискретно заданной траектории (шаг определяется временны'м интервалом ) можно было бы записать

=-

e

c

 

^k

(r

_k+1

-r

_k

)

·

A(r

_k

,y)

(7.103)

или же

=-

e

c

 

^k

(r

_k+1

-r

_k

)

·

A(r

_k+1

,y

_k+1

)

.

(7.104)

В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для . Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора A (например, A_x), то обнаружим, что компонента A_x(r_k+1,y_k+1) отличается от A_x(r_k,y_k) приблизительно на величину

(r

_k+1

-r

_k

)

·A

_x

+

A_x

t

(7.105)

которая после умножения снова на r_k+1-r_k должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения k, а после суммирования по всем k — поправкой лишь порядка . Однако наши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности x_k+1-x_k будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6),

(x

_k+1

-x

_k

)^2

-

h

mi

,

(x

_k+1

-x

_k

)

(y

_k+1

-y

_k

)

0,

(y

_k+1

-y

_k

)^2

-

h

mi

 и т.д.

с точностью до членов первого порядка по . Следовательно, выражения (7.103) и (7.104) различаются приблизительно на

 

^k

h

mi

·

A(r

_k

,t

_k

)

=

h

mi

·

A

dt

,

(7.106)

т.е. на величину нулевого порядка. Отсюда можно заключить, какая же форма выражения для будет правильной.

Общий ответ на подобный вопрос излагался в гл. 2, где было сформулировано правило для замены действия S суммой вида

 

^k

S

_кл

(x

_k+1

,t

_k+1

;x

_k

,t

_k

)

,

содержащей классическое действие S_кл для перехода между двумя соседними точками. Нет необходимости вычислять действие S_кл точно, для этого достаточно приближения, исключающего описанную выше двузначность. С этой точки зрения выражения (7.103) и (7.104) не вполне удовлетворительны, классическая же функция действия для короткого промежутка времени будет очень близка к

S

_кл

[k+1,k]

=

m|r_k+1-r_k|^2

2

+

+

1

2

[

A(r

_k+1

,t

_k+1

)

+

A(r

_k

,t

_k

)

]

·

(r

_k+1

-r

_k

)

.

(7.107)

Теперь понятно, что правильное выражение для возмущения равно среднему от выражений (7.103) и (7.104) и матричный элемент перехода в (7.99) равен

 

^k

(r

_k+1

-r

_k

)

·

[

A(r

_k+1

,t

_k+1

)

+

A(r

_k

,t

_k

)

]

.

(7.108)

Сумму по k вычислим в дальнейшем как некий интеграл по времени, а пока запишем полученный результат в виде оператора (1/2m)(p·A+A·p).