Квантовая механика и интегралы по траекториям

Однако для полного рассмотрения этой задачи нам необходимо решить — точно или приближённо — все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцилляторы. В этой главе будет разобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах взаимодействующих гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому займёмся рассмотрением лишь систем атомных размеров: например, проанализируем колебания молекулы CO₂. Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более низких энергетических состояний потенциал так близок к квадратичному, что рассмотрение, проведённое на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих задач.

В многоатомной молекуле, которая во много раз сложнее одноатомной, энергия возбуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с размерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень близка к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблизительно соответствовать набору связанных гармонических осцилляторов. Кристалл твёрдого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших размеров; с другой стороны, его можно рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов.

В качестве ещё одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объёме. С классической точки зрения его можно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля с определёнными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задаёт квантовый осциллятор.

§ 1. Простой гармонический осциллятор

Решение уравнения Шрёдингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнём наше рассмотрение с уравнения Шрёдингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде

L

=

m

2

(x^2-^2x^2)

.

(8.2)

Соответствующий гамильтониан, который используется в дальнейшем рассмотрении, запишется как

H

=

p^2

2m

+

m

2

^2x^2

,

(8.3)

и можно написать волновое уравнение

-

h

i

t

=

H

=

p^2

2m

+

m

2

^2x^2

.

(8.4)

Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определёнными энергиями E_n. Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна exp(iE_nt/h).

Вспомнив, что оператор импульса p соответствует дифференцированию по x (см. § 5 гл. 7), представим уравнение Шрёдингера для пространственной части волновой функции в виде

H

_n

=

h^2

2m

^2_n

x^2

+

m^2x^2

2

_n

=

E

_n

_n

.

(8.5)

Это уравнение легко решить; результат такого решения приводится во многих книгах по квантовой механике (например, [2]). Собственные значения энергии здесь равны

E

_n

=

h

n+

1

2

,

(8.6)

где n принимает целые значения 0, 1, 2, .... Собственные функции _n имеют вид

_n

=

(2

ⁿ

n!)

m

h

¹/₄

H

_n

x

m

h

1/2

e

^-mx2/2h

,

(8.7)

где H_n полиномы Эрмита

H

₀

(y)

=1,

H

₁

(y)

=2y,

H

₂

(y)

=4y

²

-2,

. . . . . . . . . .

H

_n

(y)

=

(-1)

ⁿ

e

^y2

dⁿ

dyⁿ

e

^-y2

.

(8.8)

Эти полиномы легче всего вычисляются с помощью производящей функции

e

^-t2+2ty

=

ⁿ⁼⁰

H

_n

(y)

tⁿ

n!

.

(8.9)

Все эти результаты можно было бы получить и другим путём. Так, например, функции _n мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временно'й зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах.

Решение, полученное из рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, из уравнения (4.59) известно, что это ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т.е.

m

2ih sin T

1/2

exp

im

2h sin T

[

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

cos T

-

2x

₁

x

₂

]

=

=

ⁿ⁼⁰

e

^-(i/h)E_nT

_n

(x

₂

)

_*

ⁿ

(x

₁

)

.

(8.10)

Используя соотношения

i sin T

=

1

2

e

^iT

(1-e

^-2iT

)

,

cos T

=

1

2

e

^iT

(1+e

^-2iT

)

,

(8.11)

левую часть равенства (8.10) можно записать как

m

h

1/2

e

^-(iT/2)

(1-e

^-2iT

)

^1/2

x

x

exp

-

m

2h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

1+e^2iT

1-e^2iT

-

4x₁x₂e^-iT

1-e^2iT

.

(8.12)

Ряд, имеющий вид правой части равенства (8.10), получится, если разложить выражение (8.12) в ряд по степеням функции exp(-iT). Так как первый коэффициент здесь равен exp(-iT/2), то все члены этого разложения будут иметь вид exp(-iT/2) exp(-inT/2), где n=0, 1, 2, …, а это означает, что уровни энергии определяются выражением