Квантовая механика и интегралы по траекториям

Зададим теперь вопрос: чем состояние отличается от состояния ? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области R' зависит от того, какая из двух областей (R или R) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода |1| вызываемое сдвигом во времени. Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений t_i, у которых i=k, на величину ; если же ik, то все t_i сохраняются.

Читателю, который заглянет несколько вперёд, может показаться, что мы намеренно создаём для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов t_k+1-t_k имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удаётся обойти, если предположить, что временно'й сдвиг сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента t=t_k, а потом монотонно убывает. Тогда, полагая вариацию равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и t_k+1-t_k. Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при ->0. Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере.

Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению эффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определённая соотношением (7.115) функция действия S[x_i+1,t_i+1;x_i,t_i] сохраняется до тех пор, пока моменты t_i+1 и t_i изменяются на одну и ту же величину. С другой стороны, функция S[x_k+1,t_k+1;x_k,t_k] переходит в S[x_k+1,t_k+1;x_k,t_k-]. Более того, константа нормировки в интеграле по dx_i также изменится и будет иметь вид

A

_i

=

2hi(t_k+1-t_k+)

m

1/2

.

(7.118)

Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия S, так и от константы нормировки A (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по записать в виде

|1|

-

|1|

=

S[x_k+1,t_k+1;x_k,t_k]

t_i

+

+

h

2i(t_k+1-t_k)

i

h

.

(7.119)

Второй член в этом выражении соответствует изменению константы A. Функционал, отвечающий гамильтониану квантовой механики, определим как

H

_i

=

S[x_k+1,t_k+1;x_k,t_k]

t_k

+

h

2i(t_k+1-t_k)

.

(7.120)

Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана. Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханичёском случае величина H_k оставалась конечной при стремлении интервала t_k+1-t_k к нулю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки A, обусловленного сдвигом времени .

Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения [см. выражение (7.116)], можно записать

H

_k

=

m

2

x_k+1-x_k

t_k+1-t_k

^2

+

h

2i(t_k+1-t_k)

+

V(x

_k+1

)

=

=

m

2

x_k+1-x_k

t_k+1-t_k

x_k-x_k-1

t_k-t_k-1

+

V(x

_k

)

.

(7.121)

Второе из этих соотношений получено с учётом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член h/[2i(t_k+1-t_k)].

Полагая теперь, что t=t- для всех tt_k, получаем соотношение

(t)

=

(t

)

+

t

=

+

t

,

(7.122)

связывающее между собой значения функции , определённые в областях R и R. Таким образом, последовательность соотношений между операторами, уравнением Шрёдингера и интегралами по траекториям может быть получена как комбинация выражений (7.119), (7.120) и (7.122):

|1|

t

=

1

h

|

H

_k

|

,

(7.123)

что снова приводит нас к уравнению Шрёдингера

h

i

t

=

H

.

Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т.е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода |1| с точностью до величин первого порядка по , когда все моменты, предшествующие моменту t, сдвинуты на величину t=-, и записать эти изменения как |H(t)|.

Глава 8

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Задача о гармоническом осцилляторе — это, вероятно, простейшая задача в квантовой механике. Мы вполне можем решить её, заметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. задачу 3.8), равно

K(x

_b

,T;x

_a

,0)

=

m

2ih sin T

1/2

x

xexp

im

2h sin T

[x

₂

^a

+x

₂

^b

)

cos T

-

2x

_a

x

_b

]

.

(8.1)