Квантовая механика и интегралы по траекториям

Для электромагнитного потенциала член первого порядка в разложении по возмущениям имеет тот же самый вид, что и член первого .порядка в соотношении (6.11), лишь потенциал V заменяется оператором

-

e

2cm

(p·A+A·p)

.

Во втором приближении это уже неверно. Здесь необходимо вычислить

1

2

e

hc

^2

r

·

A(r

_k

,t

_k

)

^2

=

1

2

e

hc

^2

 

^k

 

^l

[r

_k+1

-r

_k

]

x

x

1

2

[

A(r

_k+1

,t

_k+1

)

+

A(r

_k

,t

_k

)

]

[r

_l+1

-r

_l

]

x

1

2

[

A(r

_l+1

,t

_l+1

)

+

A(r

_l

,t

_l

)

]

.

(7.109)

Если k/=l, то ничего не меняется и мы получим член второго порядка, который можно было бы найти из сравнения с соотношением (6.13), подставив вместо потенциала V оператор -(e/2cm)(p·A+A·p). Но если k=l, то произведение двух скоростей, взятых в последовательные моменты, даст нам новый член. Учитывая выражение (7.49) и результат задачи 7.6, получим дополнительно

e^2

2c^2

+

ih

m

 

^k

1

2

[

A(r

_k+1

,t

_k+1

)

+

A(r

_k

,t

_k

)

]

^2

(7.110)

что эквивалентно интегралу ie^2/2mc^2 [A(r,t) ·A(r,t)] dt и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала (e^2/2mc^2) A·A.

Таким образом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала A, имеет тот же вид, что и разложение (6.17), только потенциал V здесь заменён оператором -e/2mc (p·A+A·p) +e^2/2mc^2 A·A. Мы показали это с точностью до членов второго порядка по A; путём небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении.

Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом A можно записать в виде

H

=

1

2m

p-

e

c

A

·

p-

e

c

A

.

(7.111)

Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы [H_своб=(1/m) p·p] тем, что здесь стоит оператор -e/2mc (p·A+A·p) +e^2/2mc^2 A·A. Такая запись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями.

§ 7. Гамильтониан

Используя полученные выше результаты, легко написать амплитуду перехода для гамильтониана, сложив амплитуду перехода для квадрата импульса, делённую на 2m, и амплитуду перехода для потенциала. Таким образом, для момента времени t_k гамильтониан может быть записан как

H

_k

=

m

2

x_k+1-x_k

x_k-x_k-1

+

V(x

_k

)

.

(7.112)

В то же время операторная форма матричного элемента перехода для этого гамильтониана будет иметь вид

|H

_k

|

=

^-

*

p^2

2m

+V(x)

dx

=

^-

*

H

dx

.

(7.113)

Хотя такой метод определения амплитуды перехода для гамильтониана даёт совершенно правильный результат, он тем не менее представляется несколько искусственным, поскольку здесь нигде не выражена зависимость гамильтониана от времени. Поэтому далее мы рассмотрим другое определение матричных элементов перехода, в основе которого лежит исследование изменения состояний при небольших вариациях времени. Такой подход даст нам возможность определять величину H_k, исходя только из вида функции S (не касаясь того, насколько это будет сложно).

Чтобы сделать это, разобьём ось времени на бесконечно малые отрезки, подобно тому как мы поступали при определении интегралов по траекториям. Однако теперь важно отметить, что деление оси на равные отрезки не является обязательным. Здесь подходит любое разбиение точками t_i, важно лишь, чтобы в пределе (независимо от величины элементов разбиения) все отрезки t_i+1-t_i стремились к нулю. Предположим для простоты, что наша система состоит из одной частицы, совершающей одномерное движение. В этом случае действие запишется в виде суммы

S=

S[x

_i+1

,t

_i+1

;x

_i

,t

_i

]

,

ⁱ

(7.114)

где

S[x

_i+1

,t

_i+1

;x

_i

,t

_i

]

=

_ti+1

^t_i

L

[

x(t),

x(t)

]

dt

.

(7.115)

Интеграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками x_i=x(t_i) и x_i+1=x(t_i+1). Следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать

S[x

_i+1

,t

_i+1

;x

_i

,t

_i

]

=

m

2

x_i+1-x_i

t_i+1-t_i

^2

-

V(x

_i+1

)

(t

_i+1

-t

_i

)

.

(7.116)

Константа нормировки для интеграла по dx_i в момент времени t_i будет такой же, как и ранее, а именно

A

=

2hi(t_i+1-t_i)

m

1/2

.

(7.117)

Выясним теперь связь гамильтониана H с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состояние (t), определённое в пространственно-временно'й области R. Представим себе, что в тот же самый момент времени t мы рассматриваем другое состояние (t), определённое в области R. Пусть область R пространственно совпадает с R, но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал . Все устройства, необходимые для локализации системы в области R, совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области R, но начинают действовать на интервал времени t= раньше. Если лагранжиан L явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т.е. состояние , соответствующее L, будет таким же, как и состояние , с той лишь разницей, что при написании L мы пользуемся в качестве времени переменной t+.