Квантовая механика и интегралы по траекториям

Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии с правилом, которое гласит: выражение -(i/h)V_mn(t)dt является амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) из состояния n в состояние m в течение промежутка времени dt, вызванного потенциалом V. Переход из состояния n в состояние m может произойти посредством 0, 1, 2, … и большего числа рассеяний. Прямой переход из одного состояния в другое без рассеяния может происходить только в случае, когда m=n; именно поэтому первый член в разложении (6.69) пропорционален _mn.

Второй член, определяемый формулой (6.72), представляет собой амплитуду вероятности перехода, обусловленного единичным рассеянием. Амплитуда вероятности обнаружения частицы в момент времени t₃ в начальном состоянии n равна exp [-iE_n(t₃-t₁)/h]. (В этом случае выражение «вероятность обнаружить частицу в состоянии n» следует понимать как «возможность рассеяния частицы из состояния n под действием потенциала V».) Амплитуда рассеяния частицы потенциалом V из состояния n в состояние m равна -(i/h)V_mn. Наконец, амплитуда вероятности обнаружить частицу в момент времени t₃ в состоянии m (что в данном случае эквивалентно амплитуде вероятности перехода частицы в состояние m за время, в течение которого происходил процесс рассеяния) пропорциональна exp [-iE_m(t₂-t₃)/h]. Это рассеяние может иметь место в любой момент времени в интервале между t₁ и t₂, поэтому выполняется интегрирование по времени t₃ между этими двумя конечными точками.

Третий член формулы (6.74) является амплитудой перехода, происходящего вследствие двух актов рассеяния. Первое рассеяние переводит систему из начального состояния n в промужуточное состояние k в момент времени t₃. Далее, система остаётся в этом состоянии вплоть до момента времени t₄ т.е. до тех пор, пока её способность к рассеянию не будет снова определяться экспоненциальной функцией exp [-(i/h)E_k(t₄-t₃)]. Следующее рассеяние происходит в момент времени t₄ и переводит систему из состояния k в состояние n. Мы интегрируем по всем возможным альтернативным временам рассеяния t₄ и t₃, требуя лишь, чтобы момент времени t₃ предшествовал моменту t₄. Далее мы суммируем по всем возможным промежуточным состояниям k, в которые может перейти наша система.

Члены ряда (6.69), для которых мы только что дали интерпретацию, представляют собой основной результат нестационарной теории возмущений. Этот результат применим в случае, когда невозмущённая система имеет постоянный гамильтониан и, следовательно, определённые значения энергии. Перейдём теперь к более подробному изучению некоторых частных случаев этой теории.

Переходы первого порядка. Рассмотрим прежде всего случай, когда конечное состояние системы m отличается от её начального состояния n, и ограничимся только первым борновским приближением, т.е. вторым членом ряда (6.69). Такой подход оправдан для малых значений потенциала V. Амплитуда перехода из состояния m в состояние n

₍₁₎

^mn

=-

i

h

_t2

^t₁

e

^{(i/h)(E_n-E_m)t}

V

_mn

(t)

dt

e

^{-(i/h)(E_nt₂-E_mt₁)}

.

(6.77)

Это очень важный частный случай нестационарной теории возмущений. В качестве первого примера предположим, что V(x,t)=V(x), т.е. что потенциал не содержит явной зависимости от времени. Если мы рассмотрим теперь интервал от t=0 до t=T, то (поскольку матричный элемент V_mn не зависит от времени) получим

₍₁₎

^mn

exp

i

h

(E

_n

t

₂

-E

_m

t

₁

)

=

=-

i

h

V

_mn

_T

⁰

i

h

(E

_n

-E

_m

)t

dt

=

V

_mn

exp[(i/h)(E_n-E_m)]-1

E_m-E_n

.

(6.78)

Следовательно, вероятность перехода за интервал времени, равный T,

P(n->m)

=

|

₍₁₎

^mn

|^2

=

|V

_mn

|^2

4sin^2

(E_n-E_m)T

2h

(E

_n

-E

_m

)

^-2

.

(6.79)

Мы видим, что по крайней мере для большого интервала T эта вероятность является быстро осциллирующей функцией от разности энергий E_n-E_m. Если значения энергии E_n и E_m достаточно сильно отличаются друг от друга, т.е. если |V_mn||E_m-E_n|, то вероятность P(n->m) будет очень мала. Это означает, что чрезвычайно мала вероятность найти значительное различие в энергиях начального и конечного состояний системы, подверженной действию очень слабого стационарного возмущения. Можно спросить, каким образом вообще малое возмущение V_mn может привести к значительному изменению энергии E_m-E_n? Ответ таков: мы рассматриваем возмущение V, внезапно возникающее в некоторый момент времени t=0, поэтому точное указание этого момента уже само по себе в силу принципа неопределённости допускает большую неопределённость значения энергии [см. формулу (5.19) и связанное с ней обсуждение].

Задача 6.20. Предположим, что потенциал V сначала плавно возрастает, а затем плавно уменьшается. Пусть, например, V(x,t)=V(x)f(t) — гладкая функция, определяемая условиями

f(t)

=

1

2e^t

, если t=0,

1-

1

2e^t

, если 0 t

T

2

,

1-

1

2e^-(T-1)

, если

T

2

t T,

1

2e^-(t-T)

, если t T

(6.80)

(фиг. 6.12). Допустим далее, что фактор 1/, определяющий временной рост функции f(t), намного меньше величины T (1/ T).