Квантовая механика и интегралы по траекториям

(x

₁

)

e

^{-(iE_n/h)(t₂-t₁)}

-

-

i

h

 

ⁿ

 

^m

_m

(x

₂

)

_*

^m

(x

₃

)

V(x

₃

,t

₃

)

e

^{-(iE_n/h)(t₂-t₃)}

_n

(x

₃

)

x

x

_*

ⁿ

(x

₁

)

e

^{-(iE_n/h)(t₃-t₁)}

dx

₃

dt

₃

+… .

(6.67)

Ясно, что в каждом члене разложения переменная x₁ входит лишь через волновую функцию ^*_m(x₁); аналогичным образом входит и переменная x₂, поэтому ядро K_V мы всегда можем записать в виде

K

_V

(2,1)

=

 

ⁿ

 

^m

_mn

(t

₂

,t

₁

)

_m

(x

₂

)

_*

ⁿ

(x

₁

)

,

(6.68)

где — коэффициенты, зависящие от t₂ и t₁. Будем называть эти коэффициенты амплитудами перехода. В нулевом порядке по V ядро (6.68) должно совпадать с ядром K_U, так что в этом порядке _mn=_mn exp [-(iE_n/h)(t₂-t₁)]. Если коэффициенты разложить в ряд по возрастающим степеням потенциала V, то получим

_mn

=

_mn

e

^{-(iE_n/h)(t₂-t₁)}

+

₍₁₎

^mn

+

₍₂₎

^mn

+… .

(6.69)

Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее

₍₁₎

^mn

=-

i

h

^-

_t2

^t₁

_*

^m

(x

₃

)

V(x

₃

,t

₃

)

_n

(x

₃

)

x

x

dx

₃

exp

i

h

[E

_m

(t

₃

-t

₂

)

-E

_n

(t

₃

-t

₁

)]

dt

₃

.

(6.70)

Задача 6.15. В задаче 5.4 мы определили некий интеграл как амплитуду перехода из состояния (x) в состояние (x). Покажите, что функция _mn удовлетворяет этому определению, если начальное состояние описывается собственной функцией _n(x), а конечное состояние — собственной функцией _m(x).

Обозначим для краткости

V

_mn

(t

₃

)

=

^-

_*

^m

(x

₃

)

V(x

₃

,t

₃

)

_n

(x

₃

)

dx

₃

(6.71)

(эта величина иногда называется матричным элементом потенциала V, взятым между состояниями n и m). Тогда формулу (6.70) можно записать в виде

₍₁₎

^mn

=-

i

h

e

^{-(i/h)E_mt₂}

e

^(i/h)E_nt₁

_t2

^t₁

V

_mn

(t

₃

)

e

^{(i/h)(E_m-E_n)t₃}

dt

₃

.

(6.72)

Мы получили важный результат нестационарной теории возмущений. Коэффициент _mn представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени t₂ система будет обнаружена в состоянии m, если первоначально она находилась в состоянии n.

Предположим, что волновая функция в момент времени t₁ была равна _n(x₁). Спрашивается, какой она станет в момент времени t₂? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени t₂ как

^-

K

_V

(2,1)

_n

(x

₁

)

dt

₁

=

=

 

^k

 

^l

_kl

_k

(x

₂

)

^-

_*

^l

(x

₁

)

_n

(x

₁

)

dt

₁

=

 

^k

_kn

_k

(x

₂

)

.

(6.73)

Это означает, что волновая функция в момент времени t₂ имеет вид

 

^m

C

_m

_m

(x

₂

)

.

Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным C_m, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях _m. В этом частном случае C_m равно _mn и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени t₂ система будет находиться в состоянии _m, если в момент времени t₁ она была в состоянии _n.

Если система находится в состоянии n и на неё не действует потенциал, то она будет всегда находиться в этом состоянии с амплитудой, которая изменяется со временем. Таким образом, в нулевом порядке _mn = _mn exp [-(iE_n/h)(t₂-t₁)]. Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг. 6.11): амплитуда вероятности рассеяния из состояния n в состояние m за промежуток времени dt равна -(i/h)V_mndt.

Фиг. 6.11. На систему, находящуюся вначале на n-м энергетическом уровне, действует потенциал V, который «рассеивает» систему во все возможные для неё состояния.

При этом амплитуда рассеяния в k-е состояние будет пропорциональна V_kn. В частности, амплитуда рассеяния из состояния n в состояние m за время dt равна -(i/h)V_mndt.

Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.

Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента во втором порядке теории возмущений:

₍₂₎

^mn

=-

1

h^2

_t2

^t₁

_t4

^t₁

 

^k

exp

-

i

h

E

_m

(t

₂

-t

₄

)

V

_mk

(t

₄

)

x

x

exp

-

i

h

E

_k

(t

₄

-t

₃

)

V

_kn

(t

₃

)

exp

-

i

h

E

_n

(t

₃

-t

₁

)

dt

₃

dt

₄

.

(6.74)

Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение

_mn

(t

₂

,t

₁

)

=

_mn

exp

-

i

h

E

_m

(t

₂

-t

₁

)

-

-

i

h

_t2

^t₁

exp

-

i

h

E

_m

(t

₂

-t

₃

)

 

^k

V

_mk

(t

₃

)

_kn

(t

₃

,t

₁

)

dt

₃

.

(6.75)

Задача 6.19. Будем считать, что коэффициент _mn(t₂) является функцией конечного момента времени t₂. Покажите, используя уравнение (6.75) или ряд (6.69), что

d

dt₂

_mn

(t

₂

)

=-

i

h

 

^k

exp

i

h

(E

_m

-E

_n

)t

₂

x

x

V

_mk

(t

₂

)

_kn

(t

₂

)

-

i

h

E

_m

_mn

(t

₂

)

.

(6.76)

Дайте физическую интерпретацию этого результата. Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шрёдингера.

Замечание. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив её в уравнение Шрёдингера.

Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием _mn(t₁)=_mn может быть использовано для непосредственного определения коэффициента .