Квантовая механика и интегралы по траекториям

^{-(i/h)p₂·R₂}

K(R

₂

,t

₂

;R

₁

,t

₁

)

e

^{+(i/h)p₁·R₁}

d^3R

₁

d^3R

₂

.

(5.11)

Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид

K

₀

(p

₂

,t

₂

;p

₁

,t

₁

)

=

=

_R1

 

_R2

 

e

^{-(i/h)p₂·R₂}

K

₀

(R

₂

,t

₂

;R

₁

,t

₁

)

e

^{(ih)p₁·R₁}

d^3R

₁

d^3R

₂

=

(2h)^3^3

(p

₁

-p

₂

)

exp

-

i|p₁|^2

2hm

(t

₂

-t

₁

)

при

t

₂

t

₁

,

0

при

t

₂

t

₁

.

(5.12)

Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-iEt/h), где E=p^2/2m. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).

Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.

В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса p₂ в момент времени t₂. Эта траектория должна начинаться со значения импульса t₁=t₂ Все другие траектории не дают вклада в ядро.

Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.

Преобразование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время -> энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид

k(p

₂

,E

₂

;p

₁

,E

₁

)

=

_R1

 

_R2

 

^-

^t₁

e

^{-(i/h)p₂·R₂}

e

^{(i/h)E₂t₂}

K(R

₂

,t

₂

;R

₁

,t

₁

)

x

x

e

^{(i/h)p₁·R₁}

e

^{-(i/h)E₁t₁}

d^3R

₁

d^3R

₂

dt

₁

dt

₂

.

(5.13)

Заметим, что энергия E здесь не равна p^2/2m, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины E для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.

В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным R₁ и R₂ были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остаётся выполнить интегрирование лишь по t₁ и t₂. Сделаем подстановку t₂=t₁+. Тогда двойной интеграл можно записать как

^-

e

^{-(i/h)(E₂-E₁)t₁}

dt

₁

⁰

e

^{-(i/h)(E₂-p^2/2m)}

d

.

(5.14)

Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением -функции Дирака и равен 2h(E₂-E₁). Второй интеграл имеет вид

⁰

e

ⁱ

dt

.

(5.15)

Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчёт, заменим комплексным числом +i. Когда обе величины и — действительные числа, интеграл равен i/(+i).

Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при , стремящемся к нулю, и принять за результат i/. Однако такой подход привёл бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,— это ядро, и в дальнейшем её следует- проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить , то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении =0.

Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины .

Преобразовав выражение i/(+i) к виду

i(-i)

^2+^2

=

i

^2+^2

+

^2+^2

,

(5.16)

можно первый член в правой части представить как i/ и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при , стремящемся к нулю, становится равным , так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение i/(+i) должно быть заменено на PP[(i/)+]. Другими словами,

⁰

e

ⁱ

dt

=

 

lim

^->0

i

+i

=

PP

i

+

.

(5.17)