Квантовая механика и интегралы по траекториям

Здесь уже предполагается, что волновая функция f(r) определена во всех точках трёхмерного координатного пространства. Амплитуда (p) представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс p в момент времени t=0. (Заметим, что эта амплитуда не определена для момента времени t=T.) Временной интервал T обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при этом величины амплитуды в импульсном пространстве. Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный на элемент объёма пространства импульсов, даёт вероятность нахождения импульса в трёхмерном интервале импульсного пространства d^3p/(2h)^3.

Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролёта. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов. Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины — импульса. Если они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправностью одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролёта является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса P(p)dp тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии f(y). Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс p, одно и то же выражение (p) с точностью до несущественной фазовой постоянной (т.е. с точностью до множителя eⁱ, где = const). Возьмём, например, следующую задачу.

Задача 5.1. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат.

Переход к импульсному представлению. Мы называли (R,t) амплитудой вероятности того, что частица находится в точке R в момент времени t. Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид

(p,t)

=

_R

 

exp

-

i

h

(p·R)

(R,t)

d^3R

.

(5.7)

Будем называть её амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс p в момент времени t. Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием

(R,t)

=

_p

 

exp

i

h

(p·R)

(p,t)

d^3p

(2h)^3

.

(5.8)

Эту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке R, представляется в виде суммы по всем возможным альтернативам. В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них — амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен p, т.е. амплитуда (p). Другой — экспонента exp(ip·R/h) представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен p, то частица находится в точке R. Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3.

Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.

Следовательно, exp(-ip·R/h) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке R, то её импульс равен p.

Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени t₂, если известна волновая функция для более раннего момента времени t₁ а именно

(R

₂

,t

₂

)

=

_t2

^t₁

_R1

 

K(R

₂

,t

₂

;R

₁

,t

₁

)

(R

₁

,t

₁

)

d^3R

₁

dt

₁

.

(5.9)

Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени t₂ окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени t₁:

(p

₂

,t

₂

)

=

_t2

^t₁

_p1

 

K(p

₂

,t

₂

;p

₁

,t

₁

)

(p

₁

,t

₁

)

d^3p₁

(2h)^3

dt

₁

.

(5.10)

Подставив в соотношение (5.9) значение (R₁,t₁) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции (R₂,t₂) к (p₂,t₂), мы выразим ядро в импульсном представлении через его значение в координатном представлении

K(p

₂

,t

₂

;p

₁

,t

₁

)

=

=

_R1

 

_R2

 

e