Квантовая механика и интегралы по траекториям

В случае когда (t,t') — действительная функция, например, равна A(t,t'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах — комплексная величина. Важным частным случаем является функция , зависящая только от разности t и t: (t,t')=(t-t'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.

Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система q переходит из энергетического состояния n в некоторое другое ортогональное состояние m за время T. Предположим, что очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить F, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по , состоитиз четырёх частей. Одна из них это

_t

 

(t,t')

q(t)

q(t')

dt'

dt

.

Если подставить её вместо F в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при =_n и =_m, то видно, что интеграл по Dq(t) и Dq'(t) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по q имеет вид

e

^iS[q]

_t

 

(t,t')

q(t)

q(t')

dt'

dt

Dq(t)

и представляет собой матричный элемент

m

-

_t

 

(t,t')

q(t)

q(t')

dt'

dt

n

=

=

-

_t

 

_m

q(t)

q(t')

_n

(t,t')

dt'

dt

(12.105)

(см. гл. 4). Интеграл no Dq' равен просто e^iS[q]Dq' и комплексно сопряжён матричному элементу _m1_n. Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность перехода

P(n->m)

=

_t

 

[

(t,t')

_m

q(t)

q(t')

_n

_m

1

_n

-

-

*(t,t')

_m

1

_n

_m

q(t)

q(t')

*

_n

+

*(t,t')

_m

q(t)

_n

_m

q(t')*

_n

+

+

(t,t')

_m

q(t)*

_n

_m

q(t')

_n

]

dt'

dt

.

(12.106)

Если состояния m и n ортогональны, то _m1_n=0; если же действие S[q] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями E_k, то

_m

q(t)

_n

=

q

_mn

e

^-i(E_m-E_n)t

(12.107)

В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что

P(n->m)

=

2Re

_t

 

(t,t')

e

^{-i(E_m-E_n)(t-t')}

dt'

dt

.

(12.108)

Задача 12.3. Проверьте, что для m=n в соответствии с законом сохранения вероятности

P(m->m)

=

1-

 

ⁿ

P(m->n)

Для однородной по времени среды (t,t')=(t-t'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье

a

=

⁰

e

^-

d

(12.109)

[_t не определена для t0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода

P(n->m)

_{за 1 сек}

=

2a

_R

(E

_m

-E

_n

)

|p

_nm

|^2

,

(12.110)

где мы выделили действительную и мнимую части a:

a

=

a

_R

+

ia

_I

.

(12.111)

Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, — действительная функция [см. (12.87)1, а действительная часть является спектральной функцией мощности шума, определённой соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем

a

_R

=

a

_R

(-)

(12.112)

и в первом порядке по возмущению

[скорость перехода n->m]

=

[скорость перехода m->n]

.

(12.113)

Обе скорости пропорциональны мощности P при значении , равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.

Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовём такую среду «холодной». В этом случае переходы системы q с возрастанием энергии (E_m-E_n) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде

a

_R

 при

0

(12.114)

и в первом порядке по возмущению

[скорость перехода n->m]

=0, если E

_m

-E

_n

.

(12.115)

Так как любая функция a может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определённой в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией A₁(t,t'), как это сделано в соотношении (12.87), а воздействие другой среды — аналогичной функцией A₂(t,t'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен A₁+A₂.

§ 9. Функционал влияния гармонического осциллятора

Ниже мы дадим пример того, как из выражения (12.90) можно вывести функционал F для среды, состоящей из гармонических осцилляторов с координатами Q. Осцилляторы находятся в основном состоянии и их координаты линейно связаны с координатами q, взаимодействие описывается членом S_i(q,Q) = Cq(t)Q(t)dt. Будем считать, что все осцилляторы имеют единичную массу и собственную частоту , так что

S

₀

(Q)

=

1

2

[

Q(t)^2

+

^2Q(t)^2

]

dt

.

(12.116)

Тогда

F[q(t),q'(t)]

=

 

^m

exp

i

1

2

Q(t)^2

+

1

2

^2Q(t)^2

+

+