Квантовая механика и интегралы по траекториям

Стоит и дальше прилагать усилия, чтобы распространить метод интегралов по траекториям за его сегодняшние пределы. Несмотря на ограничения, ценность его весьма велика благодаря той помощи, Которую он оказывает интуиции исследователя в соединении физического понимания сути дела с математическим анализом.

Приложение

ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

^-

e

^{ax^2+bx}

dx

=

-a

1/2

e

^{-b^2/4a}

,

^-

e

^{a(x₁-x)^2}

e

^{b(x₂-x)^2}

dx

=

-

a+b

1/2

exp

ab

a+b

(x

₁

-x

₂

)^2

,

⁰

exp

-

a

x^2

-

bx^2

dx

=

4b

1/2

exp

(-2

ab

)

,

_T

⁰

exp

-

a

T-

-

b

d

(T-)^3

=

exp

[-(1/T)(a+b)^2]

bT/

,

_T

⁰

exp

-

a

T-

-

b

d

[(T-)]^3

=

=

T^3

1/2

a+b

ab

exp

-

1

T

(

a

+

b

)^2

,

^-

e

^{-ax^2}

=

a

1/2

,

_/2

⁰

e

^{-q sinx}

sin 2x

dx

=

2

q^2

[(q-1)e

^q

+1]

,

⁰

e

^{p cosx}

sin(p sinx)

sin ax

dx

⁰

e

^{p cosx}

cos(p sinx)

cos ax

dx

=

p^a

2a!

,

⁰

e

^-xm

x

^k

dx

=

1

m

^-(k+1)/m

k+1

n

.

Литература

1.

Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).

2.

Schiff L. I., Quantum Mechanics, New York, 1955 (см. перевод: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957).

3.

Jahnke Е., Emde F., Tables of Functions, New York, 1943 (cм. перевод: Янке E., Эмде Ф., Таблицы функций, М.—Л., 1948).

4.

Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 2, 371 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).

5.

Рlеssеt М. S., Amer. Joum. Phys., 9, 1, 1—10 (1941).

6.

Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945).

7.

Feynman R. P., Phys. Rev., 80, 440 (1950).

8.

Feуnmam R. P., Phys. Rev., 97, 660 (1955).

9.

Frohlich H., Advans. Phys., 3, 325 (1954).

10.

Lee T., Pines D., Phys. Rev., 92, 883 (1953).

11.

Haga E., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 11, 449 (1954).

12.

Пeкap С. И., ЖЭТФ, 19, 796 (1949).

13.

Schultz T. D., Phys. Rev., 116, 526 (1959).

14.

Lee T., Low W., Pines D., Phys. Rev., 90, 297 (1953).

15.

Gross E. P., Phys. Rev., 100, 1571 (1955).

16.

Пекар С. И., Исследования по электронной теории кристаллов, М., 1951.

17.

Боголюбов Н. Н., Укр. мат. журн., 2, 3 (1950).

18.

Тябликов С. В., ЖЭТФ, 21, 377 (1951).

19.

Cramer Н., Mathematical Methods of Statistics, Princeton, 1951 (см. перевод 1-го изд.: Крамер Г., Математические методы статистики, М., 1948).

20.

Feynman R. Р., Vеrnоn F. L., Ann. of Phys., 24, 118 (1963).

21.

Wells W. H., Ann. of Phys., 12, 1 (1961).

22.

Feynman R. P., Hellwarth R.W., Iddings С. К., Platzman P.. M., Phys. Rev., 127, 1004 (1962).

23.

Feynman R. P., Phys. Rev., 84, 108 (1951).

24.

Diraс P. A. M., Principles of Quantum Mecanies, Oxford, 1947 (cм. перевод: Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, М., 1960).

25.

Everling et al., Nucl. Phys., 15,342 (1960).

26.

Feynman R. P. The Concept of Probability in Quantum Mecanies, Berkley, 1951.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода

5

Предисловие

11

Глава

1.

Основные идеи квантовой механики

13

§

1.

Вероятность в квантовой механике

13

§

2.

Принцип неопределённости

21

§

3.

Интерферирующие альтернативы

25

§

4.

Краткий обзор понятий, связанных с вероятностью

31

§

5.

Над чем ещё следует подумать

34

§

6.

Цель этой книги

36

Глава

2.

Квантовомеханический закон движения

38

§

1.

Действие в классической механике

38

§

2.

Квантовомеханическая амплитуда вероятности

41

§

3.

Классический предел

42

§

4.

Сумма по траекториям

44

§

5.

Последовательные события

49

§

6.

Некоторые замечания

52

Глава

3.

Дальнейшее развитие идей на конкретных примерах

54

§

1.

Свободная частица

54

§

2.

Дифракция при прохождении через щель

58

§

3.

Результаты в случае щели с резкими краями

68

§

4.

Волновая функция

70

§

5.

Интегралы Гаусса

71

§

6.

Движение в потенциальном поле

76

§

7.

Системы с многими переменными

79

§

8.

Системы с разделяющимися переменными

80

§

9.

Интеграл по траекториям как функционал

82

§

10.

Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором

84

§

11.

Вычисление интегралов, по траекториям с помощью рядов Фурье

86

Глава

4.

Шредингеровское описание квантовой механики

89

§

1.

Уравнение Шрёдингера

90

§

2.

Гамильтониан, не зависящий от времени

98

§

3.

Нормировка волновых функций свободной частицы

103

Глава

5.

Измерения и операторы

111

§

1.

Импульсное представление

111

§

2.

Измерение квантовомеханических величин

122

§

3.

Операторы

129

Глава

6.

Метод теории возмущений в квантовой механике

135

§

1.

Ряд теории возмущений

135

§

2.

Интегральное уравнение для ядра

K

_V

142

§

3.

Разложение волновой функции

144

§

4.

Рассеяние электрона на атоме

145

§

5.

Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов

160

Глава

7.

Матричные элементы перехода

181

§

1.

Определение матричных элементов перехода

181

§

2.

Функциональные производные

188

§

3.

Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов

192

§

4.

Общие соотношения для квадратичной функции действия

200

§

5.

Матричные элементы перехода и операторные обозначения

203

§

6.

Разложение по возмущениям для векторного потенциала

208

§

7.

Гамильтониан

211

Глава

8.

Гармонические осцилляторы

216

§

1.

Простой гармонический осциллятор

217

§

2.