Квантовая механика и интегралы по траекториям

Cq(t)

Q(t)

dt

exp

-i

1

2

Q'(t)^2

+

1

2

^2Q'(t)^2

+

+

Cq'(t)

Q'(t)

dt

DQ(t)

DQ'(t)

,

(12.117)

где m — конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл по Q гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода G_m0, полученной в § 9 гл. 8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через (t), здесь равна Cq(t) ¹). Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при n=0:

G

_m0

=

(m!)

^{- 1/2}

(i*)

^m

G

₀₀

,

(12.118)

¹) Возможно, для читателя будет предпочтительнее представить выражение (12.117) в форме F[q(t),q'(t)] = dQ_f K(Q_f,t_f;Q_it_i) K'*(Q_f,t_f;Q'_it_i) ₀(Q_i) *₀(Q'_i) dQ_i dQ'_i ,

где K — ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием внешней силы f(t)=Cq(t), а K' — аналогичное ядро для f(t)=Cq'(t); ₀(Q) — волновая функция осциллятора в основном состоянии. Тогда все переменные Q_i, Q'_i и Q'_f входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай конечной температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии n пропорциональна e^-E_n, так что, согласно правилу IV, окончательное выражение функционала F найдём, если в полученном выше выражении волновые функции (Q_i) *(Q'_i) заменить на const

 

ⁿ_n(Q_i) *_n(Q'_i) e^-E_n ,

т.е. на матрицу плотности (Q_i,Q'_i) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.

причём G определяется равенством (8.138), а * равенством (8.143) с заменой (t) на Cq(t). Аналогично интеграл по Q является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где (t) следует лишь заменить на Cq'(t). Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам

E(q,q')

=

 

^m

G

_m0

G

'*

m0

=

 

ⁿ

(m!)

^{- 1/2}

(i*)

^m

G

₀₀

(m!)

^{- 1/2}

(-i')

^m

G'

₀₀

=

=

G

₀₀

G'

₀₀

e

^*'

.

(12.119)

Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу F типа (12.104), но при этом

(t,t')

=

C^2

2

e

^-i(t,t')

.

(12.120)

Например, члены с qq' в выражении (12.104) получаются прямо из члена *' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт

C^2

2

q(t)

e

^it

dt

q'(t)

e

^-it

dt

=

=

C^2

2

_t

 

[

q(t)

q'(t')

e

^i(t-t')

+

q'(t)

q(t')

e

^i(t-t')

]

dt'

dt

.

(12.121)

Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина a равна

a

=

C^2

2

⁰

e

^-it

e

^-it

dt

=

C^2

2

-i

PP

1

+

+

(+)

(12.122)

[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть

a

_R

=

C^2

2

(+)

.

(12.123)

Для положительных эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).

Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции a_R складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это — следствие того, что для отрицательных любую функцию a_R можно построить из -функций в форме (12.123).

Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна T, то начальное состояние — это состояние n с относительной вероятностью e^-E_n/kT. В нашем случае абсолютная вероятность

w

_n

=

e

^-nh/kT

(1-e

^-h/kT

)

.

(12.124)

Если бы начальным было состояние n, то функционал влияния имел бы вид

F

_n

=

 

^m

G

_mn

G

'*

mn

,

(12.125)

а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами w_n, так что окончательное выражение для функционала F равно

F

=

 

^m,n

G

_mn

G

'*

mn

e

^-nh/kT

(1-e

^-h/kT

)

.

(12.126)

Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна

F

=

G

₀₀

G'

₀₀

e

^*'

exp

-

(-')(*-'*)

e^h/kT-1

.

(12.127)

Вместо (12.123) для a_R получается выражение

a

_R

=

C^2

2

e^h/kT

e^h/kT-1

(+)

+

1

e^h/kT-1

(-)

,

(12.128)

а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (0), так и к большим энергиям.

Заметим, что если 0, то обратится в нуль первая -функция, тогда как при 0 равна нулю вторая -функция; кроме того, как и следовало ожидать,

a

_R

(-||)

=

e

^h||/kT

a

_R

(+||)

.

(12.129)

Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда E_nE_m,

вероятность перехода за 1 сек

к большим энергиям (m->n)

вероятность перехода за 1 сек

к меньшим энергиям (n->m)

=

=

e

^{-(E_n-E_m)/kT}

;

(12.130)

при этом мы воспользовались выражением (12.110).

Таким образом, если система q занимает различные состояния n с относительными вероятностями e^-(E_n)/kT, то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии. Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой T, приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12.129).