Квантовая механика и интегралы по траекториям

Таким образом, с помощью лагранжиана, выраженного через нормальные координаты, нам удалось свести рассмотрение системы к рассмотрению набора независимых простых гармонических осцилляторов. Квантовомеханическая часть решения здесь получается совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая многоатомной молекулы. При этом нам необходимо знать только квантовомеханическое решение для свободного гармонического осциллятора.

Задача 8.6. Покажите, что константы a_j будут теми же и тогда, когда связь атомов осуществляется не непосредственно с ближайшими соседями, а имеет некоторое протяжение и данный атом посредством постоянной взаимодействия _k оказывается связанным с удалённым от него k-м атомом. Предполагая, что величина _k быстро убывает с ростом k, определите частоту при наличии подобной связи, т.е. когда потенциальная энергия определяется уже не выражением (8.66), а другим, подобным ему, но учитывающим относительные смещения всех возможных пар (каждое из которых умножается на соответствующее _k), т.е.

V=(^2/2)

_k

(q

_k+j

-q

_j

)^2

.

^k

^j

§ 5. Приближение непрерывной среды

Параметры мод, которые мы определяли до сих пор, соответствуют случаю, когда каждый атом совершает колебания с некоторым фазовым сдвигом по отношению к другому атому рассматриваемой цепочки, т.е. когда по цепочке атомов бежит волна колебаний. Если фазовый сдвиг между соседними атомами мал, то длина волны велика.

Поведение атомов в таких длинноволновых модах представляет особый интерес. Если длина волны существенно превосходит расстояния между атомами, то этими расстояниями можно пренебречь. В таком случае движение очень хорошо описывается с помощью модели «непрерывной среды». Цепочка атомов здесь может быть представлена как непрерывный стержень с усреднёнными определённым образом свойствами, такими, как масса, приходящаяся на единицу длины =1/d. (вспомним, что массу каждого атома мы положили равной единице). Разумеется, с физической точки зрения реальный стержень на самом деле является дискретным набором атомов. Однако в этом параграфе мы будем рассматривать приближение непрерывной среды, заменив цепочку атомов сплошной струной.

Для некоторой моды с индексом фазовый сдвиг между смежными атомами равен 2/N, так что волна охватывает N/ атомов; если d — расстояние между соседними атомами при равновесии, то длина волны равна =Nd/. Волновое число

k

=

2

=

2

Nd

.

(8.86)

Волновой подход позволяет математически более чётко представить ceбe движение, но для этого нужно немного изменить обозначения. Каждой моде мы припишем своё значение k взамен употреблявшегося ранее индекса . Тогда суммирование по модам (по индексам ) перейдёт в сумму по дискретным величинам k, которые будут целыми числами, умноженными на 2/L (где L=Nd — полная длина струны). Предположим, что x_j=jd определяет равновесное положение j-го атома. Тогда уравнения, описывающие движение атома, принимают вид

a

_jk

=

1

N

e

^ikx

,

(8.87)

Q

_k

=

1

N

_N

^j=1

q

_j

e

^ikx_j

,

(8.88)

q

_j

=

1

N

_N

^k=1

Q

_k

e

^-ikx_j

(8.89)

и

_k

=

2 sin

kd

2

.

(8.90)

Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Выше мы уже видели, что условием такой ситуации является kd1. Если обозначить произведение d=c, то для малых kd. имеем kc. В этом случае можно представлять себе координаты q_j как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т.е. определять смещение j-го атома, как это показане на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения q(x_j) и q(x_j+1) приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию q(x) как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке. Нормальная координата Q_k является фурье-образом функции q(x), т.е. уравнение (8.88) можно заменить на

Q(k)

=

N

L

_L

⁰

q(x)

e

^ikx

dx

.

(8.91)

Эта замена основывается на приближённом соотношении

_N

^j=1

_j

N

L

_L

⁰

dx

,

(8.92)

которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно

_N

^k=1

_k

L

2

_2/d

⁰

dk

,

(8.93)

приводит нас к обратному преобразованию

q(x)

=

L

2N

_2/d

⁰

Q(k)

e

^-ikx

dk

.

(8.94)

Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения j-го атома равным u_j, т.е. q_j=mu_j, где m — масса атома, равная d. Пусть U — фурье-образ величины u, т.е.

U(k)

=

_L

⁰

u(x)

e

^ikx

dx

;

(8.95)

тогда обратное преобразование даст

u(x)

=

1

2

^-

U(k)

e

^-ikx

dk

.

(8.96)

Нормальной координатой теперь будет U(k); через прежнюю нормальную координату Q(k) она выражается так:

U(k)

=

mL

N

Q(k)

.

(8.97)

Выражение для кинетической энергии, куда входит величина u(x,t), можно получить с помощью соотношения (8.92):

кинетическая энергия=

1

2

u

t

^2

dx

.

(8.98)

Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов, как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать

q

_i+1

-q

_i

=

m

[

u(x

_i+1

,t)

-

u(x

_i

,t)

]

d

m

u

x

.

(8.99)

Это означает, что потенциальная энергия равна

V

=

^2d^2

2

m

d

_L

⁰

u

x

^2

dx

=

c^2

2

_L

⁰

u

x

^2

dx

.

(8.100)