Квантовая механика и интегралы по траекториям

Можно уточнить величину энергии основного состояния, применив точное выражение для частоты и подобрав разумный верхний предел в интеграле по k. Так, выбрав _k в виде (8.90), получим для энергии основного состояния значение

E

_осн

=

k=k_макс

k=-k_макс

h

2

sin

kd

2

,

(8.113)

где

k

_макс

=

2

d

.

(8.114)

Это можно переписать в виде

_n=N/2

^n=-N/2

h

sin

n

N

2h

(Im)

_N/2

ⁿ⁼⁰

e

^in/N

.

(8.115)

Для очень больших N этот результат можно аппроксимировать выражением

E

_осн

=

2hcL

1

d^2

.

(8.116)

Отсюда видно, что энергия пропорциональна длине нашей системы и неограниченно растёт, когда межатомное расстояние d стремится к нулю, т.е. энергия основного состояния в случае непрерывной среды не определена. Понятно, что для реальных объектов энергия всегда имеет конечное значение.

Обычно очень удобно измерять вместо самой полной энергии системы разность между ней и энергией основного состояния. В пользу этого можно высказать два соображения: 1) на самом деле энергия основного состояния неизвестна, да и не представляет интереса для большинства физических задач (например, в энергию основного состояния входят энергии всех электронов, налетающих на атом); 2) когда мы имеем дело лишь с возбуждением длинных волн, приближение непрерывной среды оказывается очень полезным и даёт хорошие оценки энергии возбуждения. Однако это же приближение даёт неразумный результат для энергии основного состояния, поскольку мы пренебрегаем расстоянием между атомами d (т.е. полагаем d=0). Таким образом, если мы пользуемся приближением непрерывной среды, то должны избегать вычислений энергии основного состояния.

§ 7. Трёхмерный кристалл

В принципе нет большого различия между реальным трёхмерным кристаллом и рассмотренным нами одномерным примером. Однако теперь конкретное вычисление различных модовых частот будет намного сложнее. Можно снова применить понятие о волновом числе k, которое теперь уже оказывается вектором с компонентами k_x, k_y и k_z. Частоты, если записать их через эти компоненты, вообще говоря, будут иметь очень сложный вид. Благодаря наличию поляризации (различных направлений колебаний) для каждого значения k получим несколько решений. Далее, реальный кристалл часто состоит не из массива равномерно расположенных атомов, но скорее из единичных ячеек, причём каждая такая ячейка сама содержит группу атомов, размещающихся в пространстве по некоторому геометрическому закону. Если в такой единичной ячейке содержится, скажем, p атомов, то этот пример можно иллюстрировать одномерной моделью; тогда в целом у нас имеется набор из 3p значений частот для каждой величины k.

В трёхмерном кристалле тоже можно с хорошим приближением использовать модель непрерывной среды. При этом решёточная структура кристалла, вообще говоря, заменяется на непрерывную, а особенности решётки проявляются в различии свойств непрерывной среды по направлениям (например, в анизотропии сжимаемости). Симметрия решётки находит своё выражение в симметрии констант упругости. Более того, направления колебаний (поляризация) мод не обязательно будут параллельны или перпендикулярны направлению распространения волны.

В нашем рассмотрении будем предполагать, что система обладает одинаковыми постоянными упругости по всем направлениям (вообще говоря, в произвольном кристалле это необязательно, даже если он симметричен подобно кубическому кристаллу). В этом случае у нас будут возникать колебания двух видов: продольные и поперечные, с различной скоростью, которую мы обозначим через c_L для продольных и через c_T для поперечных волн. Каждому k соответствуют три моды. Одна из них имеет частоту _L=c_Lk (k — модуль вектора k). Поскольку, по предположению, направление волны не влияет на её частоту, то последняя будет функцией лишь абсолютной величины волнового числа k, не зависящей от направлений; поэтому возникают две поперечные моды (т.е. такие, когда движения атомов перпендикулярны направлению движения волны), причём обе имеют одинаковую частоту _T=c_Tk.

Каждая отдельная мода, которой соответствует определённое направление поляризации, ведёт себя подобно независимому осциллятору.

Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объёма V. Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном k-объёме d^3k=dk_xdk_ydk_z и около значения k. Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней L_x, L_y и L_z. Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины k_x различаются друг от друга на 2/L_x, так что в интервале dk_x имеется dk_xL_x/2 дискретных значений k_x. Применяя те же самые соображения к другим направлениям, мы найдём, что число дискретных значений k во всем объёме d^3k составляет

dk_xdk_ydk_z

(2)^3

L

_x

L

_y

L

_z

=

d^3k

(2)^3

V

.

(8.117)

Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.