Квантовая механика и интегралы по траекториям

В общем случае модовая частота _k, как мы уже упоминали, является очень сложной функцией k, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же k, но её определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача, сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.

В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твёрдом теле (т.е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путём, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу — приближению непрерывной среды.

Полное решение такой задачи определило бы нам все эффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомеханический аналог приближения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинноволновому пределу, оказывается в квантовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом. Лагранжиан в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию — переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид.

Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть u(r,t) выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть r. Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволновой области, и, следовательно, мы можем применить приближение непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид

U(k,t)

=

 

^V

u(r,t)

e

^ikr

d^3r

,

(8.118)

где r — пространственный вектор с компонентами x, y, z. Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением U и направлением вектора k, т.е. координата U_x(k,t) вектора U не обязательно представляет нормальную моду. Для изотропной среды три моды, определяемые вектором k, имеют следующие нормальные координаты:

U

₁

(k,t)

=

k·U

k

(8.119)

(т.е. компоненту U в направлении k)

U

₂

(k,t)

e

₁

·U

,

(8.120)

U

₃

(k,t)

e

₂

·U

,

(8.121)

где e₁ и e₂ — два единичных вектора, перпендикулярных и k, и между собой. Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определённым соотношением (8.119), и не будем обращать внимания на поперечные колебания.

Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде

L

=

2

U₁(k,t)

t

^2

-

c^2k^2

[

U

₁

(k,t)

]^2

d^3k

(2)^3

.

(8.122)

Мы ввели здесь скорость звука c=/k, которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8.122) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных u(r,t) лагранжиан запишется так:

L

=

2

u

t

^2

-

c^2

(·u)^2

d^3r

.

(8.123)

Первый член в правой части этого выражения — кинетическая энергия, равная половине массы, умноженной на квадрат скорости. Второй член выражает энергию сжатия, определяемого дивергенцией ·u (деформация сжатия). Энергию поперечной деформации мы здесь не рассматриваем, поскольку пренебрегаем поперечными волнами.

Варьируя лагранжиан по u, получаем классическое уравнение движения:

1

c^2

^2u

t^2

=

-(·u)

.

(8.124)

Если мы определим деформацию сжатия как дивергенцию u, т.е. как

=

·u

,

(8.125)

то уравнение перепишется в виде

1

c^2

^2

t^2

=

-

^2

,

(8.126)

что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.

Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту exp (ik·r), параллельную вектору k, получим

-

1

c^2

^2U₁

t^2

=

k^2U

₁

.

(8.127)

Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что U₁(k,t) действительно является нормальной координатой.

Из лагранжиана, записанного в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину E=nh(kc) выше энергии основного состояния.

Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат u(r,0), к состоянию с другой системой координат u(r,T). Эта амплитуда имеет вид

K[

u(r,T),T

;

u(r,0),0

]=

=

exp

-

i

2h

_T

⁰

_Lz

⁰

_Ly

⁰

_Lx

⁰

u

t

^2

-

c^2

(·u)^2

d^3r

dt

D^3

u(r,t)

.

(8.128)