Квантовая механика и интегралы по траекториям

Для обозначения мод различных полей обычно используются разные названия. Кванты звука или колебаний в кристалле обычно называются фононами, кванты в теории электромагнитного поля — фотонами, в теории мезонных полей — мезонами и т.д. Даже электроны можно представлять себе в виде возбуждений поля, но это поле будет совсем непохоже на те, которые мы до сих пор рассматривали. Его обычно называют ферми-полем; частицы при этом подчиняются принципу исключения и лагранжиан квантуется не путём перехода к набору гармонических осцилляторов, как это делалось выше, а несколько иным способом. Частицы, возникающие при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов, обычно называются бозе-частицами; они подчиняются симметричной статистике (статистике Бозе). Это означает, что если две частицы имеют соответственно волновые числа i₁ и i₂, то для них существует только одно состояние и нет такого состояния, где первой соответствовало бы значение i₂, а второй — значение i₁. Это ясно из того, что наше поле имеет только одно состояние, в котором моды имеют волновые числа i₁ и i₂ и возбуждены до их первых уровней. Такое состояние определяется энергией h₁+h₂, и здесь бессмысленно задавать вопрос: если поменять эти частицы местами, то какой из них соответствует возбуждение? В гл. 9 обсудим этот вопрос более детально на примере фотонов электромагнитного поля.

Задача 8.7. Считают, что нейтральные частицы с нулевым спином (подобные ⁰-мезонам) в свободном состоянии можно представить полем с лагранжианом

L

=

1

2

t

^2

-

c^2||^2

+

²c⁴

h²

d^3r

dt

,

(8.133)

где — некоторая константа.

Покажите, что это поле имеет квантовые состояния, соответствующие волнам exp (ik·r) с энергией возбуждения

h

=

(h^2i^2c^2+^2c

⁴

)

^1/2

.

(8.134)

Если hk=p рассматривать как импульс кванта, энергия запишется в виде

E

=

(|p|^2c^2+c

⁴

)

^1/2

.

(8.135)

Это релятивистская формула для энергии частицы с импульсом p и массой (отметим, что для малого p^2 можно приближённо положить E=c^2+p^2/2+…, т.е. E равно энергии покоя c^2 плюс кинетическая энергия p^2/2).

Состояние поля, когда мода с волновым числом k₁ возбуждена до второго квантового уровня, мода k₂ — до первого и т. д., мы будем интерпретировать как состояние системы, имеющей две частицы с импульсом hk₁ одну с импульсом hk₂ и т. д. За основное принимается состояние, в котором нет ни одной частицы; оно называется состоянием вакуума. Переход осцилляторов поля на возбуждённые уровни и обратно соответствует рождению и аннигиляции частиц; именно таким образом эти процессы и рассматриваются в релятивистской квантовой теории.

§ 9. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила

В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т.е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые взаимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил. Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец, любые другие взаимодействия мод с внешними полями. Мы не будем здесь обсуждать проблему взаимодействия в общем случае; вместо этого рассмотрим как образец один из примеров взаимодействия атомных систем и зарядов с электромагнитным полем. Обобщение этого примера выполним в следующей главе. Другие случаи могут быть проанализированы аналогичным образом.

Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.

Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остаётся только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.

Для начала вернёмся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде

L

=

M

2

x^2

-

M^2

2

x^2

-

(t)x

,

(8.136)