Квантовая механика и интегралы по траекториям

где (t) — внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от t=0 до t=T, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при t=0, так и в конце при t=T. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду K(b,a) вероятности перехода осциллятора из точки x_a в момент времени t=0 в точку x_b в момент t=T. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода G_mn для осциллятора, который первоначально находился в состоянии n, а затем в момент T оказался в состоянии m. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.

В § 1 мы определили волновые функции _n для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду G_mn прямыми подстановками в выражение

G

_mn

=

e

^(i/h)E_mT

^-

^-

_m

(x

_b

)

K(x

_b

,T;x

_a

,0)

_n

(x

_a

)

dx

_a

dx

_b

.

(8.137)

Для случая m=n=0 этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим

G

₀₀

=

exp

-

1

2mh

_T

⁰

_t

⁰

(t)

(s)

e

^-i(t-s)

ds

dt

.

(8.138)

Если m и n не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния f в состояние g, если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна

F(b,a)

=

^m=0

ⁿ⁼⁰

G

_mn

f

_*

^m

(b)

f

_n

(a)

e

^-iE_mT/h

=

=

^m=0

ⁿ⁼⁰

G

_mn

exp

-

M

4h

(a^2+b^2)

x

x

aⁿb^m

m!n!

M

2h

(m+n)/2

e

^-iT/2

,

(8.139)

где M — масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим G_mn, умножая F(b,a) на exp[(M/4h)(a^2+b^2)] и разлагая полученное выражение в ряды по степеням a и b. Поэтому нам удобнее сперва вычислить

F(b,a)

=

^-

^-

exp

-

M

2h

(x

₂

-b)^2

x

x

K(x

₂

,T;x

₁

,0)

exp

-

M

2h

(x

₁

-a)^2

dx

₁

dx

₂

,

(8.140)

где K(x₂,T;x₁,0) — ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем

F(b,a)

=

exp

-

M

4h

(a^2+b^2-2abe

^-iT

)

+

+

i

M

2h

1/2

(a+b*e

^-iT

)

-

-

1

2Mh

_T

⁰

_t

⁰

(t)

(s)

e

^-i(t-s)

ds

dt

e

^-iT/2

(8.141)

где

=

1

M2

(t)

e

^-it

dt

,

(8.142)

*

=

1

M2

(t)

e

^+it

dt

,

(8.143)

Величины G₀₀ могут быть легко получены из выражения (8.141) подстановкой a=b=0. Результат совпадает с выражением (8.138). Умножая далее на экспоненту, как описано выше, и обозначая

x

=

M

2h

1/2

a,

y

=

M

2h

1/2

be

^-iT

,

найдём, что

 

^m=0

 

ⁿ⁼⁰

G

_mn

xⁿy^m

m!n!

=

[exp(xy+ix+i*y)]

G

₀₀

.

(8.144)

Раскладывая правую часть в ряд по x и по y и сравнивая члены, получаем окончательный результат:

G

_mn

=

G₀₀

m!n!

_l

^r=0

m!

(m-r)r!

n!

(n-r)r!

r!

(i)

^n-r

(i*)

^m-r

,

(8.145)

где l, равное m или n, принимает сколь угодно большие целые значения.

Таким образом, мы полностью решили задачу о гармоническом осцилляторе, на который действует внешняя сила. В гл. 9 мы ещё раз вернёмся к этой проблеме и используем полученные здесь результаты.

Глава 9

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В этой главе исследуется взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. Мы уже рассмотрели один пример такого взаимодействия в § 6 гл. 7, где переменные электромагнитного поля входили в потенциальную часть лагранжиана; переменные поля представлялись там векторным потенциалом A. При этом мы имели дело лишь с движением частиц в некотором заданном поле; очевидно, что при таком подходе нельзя ничего сказать о том, как возникает само поле A, или о том, как движущиеся частицы влияют на него. Другими словами, постановка задачи не включала в себя никакого исследования динамики поля. Подобный подход, основанный на использовании заданных потенциалов, конечно, является приближением. Он оправдан, когда размеры установок, с помощью которых создаются потенциалы, настолько велики, что движение частиц никак не влияет на величину потенциалов.

Теперь мы будем интересоваться не только влиянием потенциалов на движение частиц, но и влиянием самих частиц на потенциалы. Начнём с классического подхода и применим для описания электромагнитного поля уравнения Максвелла; они выражают параметры поля через плотности зарядов и токов окружающего вещества.