Квантовая механика и интегралы по траекториям

В предыдущих главах мы уже видели, что квантовомеханическое описание некоторых классических систем легко дать в тех случаях, когда классические законы можно выразить на языке принципа наименьшего действия. Так, если экстремальное значение действия S, варьируемого по некоторой переменной q, приводит к классическим уравнениям движения, то соответствующие квантовомеханические законы выражаются следующим образом: амплитуда вероятности некоторого заданного события, соответствующая действию S, равна интегралу по траекториям от функции e^iS/h, взятому по всем возможным путям изменения переменной q, при которых выполнены условия осуществления данного события.

Для такого подхода крайне существенно, что основные законы классической электродинамики, выражаемые уравнениями Максвелла, тоже могут быть сформулированы с помощью принципа наименьшего действия. Пусть существует действие S, которое можно представить через векторный и скалярный потенциалы A и ; определение экстремального значения этого действия при варьировании его по переменным поля (r,t) и A(r,t) приводит к формулировке электромагнетизма, эквивалентной уравнениям Максвелла. Тогда, рассуждая по аналогии, мы будем искать законы квантовой электродинамики, исходя из правила: амплитуда вероятности какого-либо события равна

K(2;1)

=

₂

¹

e

^(i/h)S[A,]

DA(r,t)

D(r,t)

,

(9.1)

где интеграл по траекториям берётся по всем значениям потенциалов A и в каждой точке пространства — времени и вдоль всех путей, удовлетворяющих определённым граничным условиям в начальной и конечной мировых точках события.

§ 1. Классическая электродинамика

Уравнения Максвелла. Начнём изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.

Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид

·E

=

4

,

(9.2)

xB

=

1

c

E

t

+

4j

,

(9.3)

·B

=

0,

(9.4)

xE

=-

1

c

B

t

(9.5)

где E — напряжённость электрического поля, B — напряжённость магнитного поля, c — скорость света, j — плотность тока и — плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т.е. когда

·j

=-

t

.

(9.6)

Из уравнения (9.4) следует, что пока B можно записать как ротор некоторого вектора A:

B

=

xA

.

(9.7)

Это соотношение ещё не полностью определяет вектор A, однако эту неоднозначность можно устранить, полагая

·A

=0.

(9.8)

Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырёхмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины ·A скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).

Подставив E+(1/c)(A/t) в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала

E

=

--

1

c

A

t

(9.9)

Уравнения (9.2) — (9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что

·E

=

-^2

=

4

.

(9.10)

Если =0, то =0 и E=-(1/c)(A/t). При этом из уравнения (9.3), если j=0, следует

^2A

-

1

c^2

^2A

t^2

=0

(9.11)

[так как x(xA) = (·)-^2A]. Таким образом, каждая компонента вектора A удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам

A(R,t)

=

a

_k

(t)

e

^ik·R

(9.12)

то уравнение для амплитуды a_k запишется как a_k; отсюда следует, что каждая компонента a_k — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой =kc. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора a_k в направлении k должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

k·a

_k

=0.

(9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению k будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы E, B и k взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы A и , а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

A(R,t)

=

4

c

a

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(R,t)

=

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

j(R,t)

=

j

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(R,t)

=

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду e, находящемуся в точке q(t) в момент времени t, имеет вид

(x,y,z,t)

=

e

[x-q

_x

(t)]

[y-q

_y

(t)]

[z-q

_z

(t)]

=

e

^3[R-q(t)]

.

Покажите, что фурье-образ плотности заряда

_k

=

e

e

^ik·q(t)

.

(9.15)