Квантовая механика и интегралы по траекториям

поскольку эта величина неограниченно растёт при стремлении ε к нулю. Как же получить правильное выражение для кинетической энергии? Сделаем эвристическое предположение, что нам будет достаточно ограничиться рассмотрением тех функционалов 𝐹, которые исследуются методами теории возмущений. Тогда возникает вопрос: как ввести понятие возмущения в кинетическую энергию? Пусть за малый интервал времени Δ𝑡 масса частицы 𝑚 изменяется на величину η𝑚 (где η тоже очень мало); тогда изменение действия, пропорциональное кинетической энергии, будет равно величине ηΔ𝑡(𝑚/2)𝑥̇². Итак, мы пришли к вопросу: какой вид (в первом приближении по возмущениям) имеет выражение для ⟨σ⟩_𝑆0, если на короткое время масса частицы 𝑚 принимает величину 𝑚(1+η)?

Для простоты интервал Δ𝑡 можно положить равным ε, как это было уже сделано нами в определении пространственных переменных 𝑥_𝑘, и т.д.; тогда в разложении по возмущениям член первого порядка, поделённый на εη, будет равен кинетической энергии частицы. Ясно, что изменение действия 𝑆 будет равно εη(𝑚/2)(𝑥_𝑘+1-𝑥_𝑘)²/ε² [если в выражении (7.38) в члене с индексом 𝑖=𝑘 массу 𝑚 заменить на 𝑚(1+η)]. Однако это не единственное изменение в интеграле по траекториям, вызываемое вариацией массы. Дело в том, что, кроме величины самого интеграла, изменяется также (на величину η/2) коэффициент нормировки 𝐴, пропорциональный 𝑚^½. Следовательно, полное изменение интеграла по траекториям, обусловленное малой вариацией 𝑚, после деления на ηε запишется (с точностью до первого порядка) в виде

𝑖

ℏ

╱

╲

𝑚

2

(𝑥_𝑘+1-𝑥_𝑘)²

ε²

+

ℏ

2𝑖ε

╲

╱

,

(7.53)

а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину 𝑖/ℏ.

Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при ε→0 с точностью до членов порядка 1/ε, в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остаётся конечным. Это выражение можно переписать иначе, если разложить квадратичный член. В уравнении (7.40) положим 𝐹 равным 𝑥_𝑘+1-𝑥_𝑘 Сохраняя члены низшего порядка по ε, получаем

╱

╲

𝑚

2

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑘+1-𝑥_𝑘

ε

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑘-𝑥_𝑘-1

ε

⎫

⎪

⎭

╲

╱

=

╱

╲

𝑚

2

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑘+1-𝑥_𝑘

ε

⎫²

⎪

⎭

╲

╱

+

ℏ

2𝑖ε

⟨1⟩.

(7.54)

Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.

В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот же самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в § 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения нашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.

В качестве первого примера рассмотрим случай свободной частицы, которая переходит из точки 𝑥₁ в точку 𝑥₂ за время 𝑇. Найдём матричный элемент перехода для пространственной координаты в момент времени 𝑡, т.е. для 𝑥(𝑡). Конечно, он будет некоторой функцией от 𝑡, поэтому ясно, что

⟨𝑥(0)⟩

=

𝑥

₁

⟨1⟩

,

⟨𝑥(𝑇)⟩

=

𝑥

₂

⟨1⟩

.

(7.55)

Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет

⟨𝑥(𝑡)⟩

=

⎡

⎢

⎣

𝑥

₁

+

𝑡

𝑇

(𝑥

₂

-𝑥

₁

)

⎤

⎥

⎦

⟨1⟩.

(7.56)

Заметим, что выражение в скобках есть как раз величина 𝑥(𝑡), взятая вдоль классической траектории 𝑥(𝑡).

Задача 7.7. Покажите, что для любой квадратичной функции действия

⟨𝑥(𝑡)⟩

=

𝑥

(𝑡)

⟨1⟩.

(7.57)

В качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода ⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩ для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как 𝑓(𝑡,𝑠). Вторая производная по времени в этом случае равна

∂²𝑓(𝑡,𝑠)

∂𝑡²

=

⟨𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩

.

(7.58)

Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки 𝐹=𝑥(𝑠) в уравнение (7.40). В случае 𝑠≠𝑡, используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем -(1/𝑚)⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩, тогда как при 𝑠=𝑡, повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдём, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка 1/ε. Переходя к пределу при ε→0, имеем

𝑚

∂²𝑓

∂𝑡²

=

⟨𝑚𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩

=

ℏ

𝑖

δ(𝑡-𝑠)

-

⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩

.

(7.59)