Квантовая механика и интегралы по траекториям

Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной δ𝐹/δ𝑥(𝑠). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент

⟨𝐹⟩

_𝑆

=

∫

𝐹[𝑥(𝑡)]

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

(7.28)

и в интеграле по траекториям функцию 𝑥(𝑡) заменим на 𝑥(𝑡)+η(𝑡). Для каждого фиксированного значения η(𝑡) выполнено равенство 𝒟[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]=𝒟𝑥(𝑡) [поскольку 𝑑(𝑥_𝑖+η_𝑖) = 𝑑(𝑥_𝑖)]. Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков

⟨𝐹⟩

_𝑆

=

∫

𝐹[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

=

=

∫

𝐹[𝑥(𝑡)]

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

+

∫

⎡

⎢

⎣

∫

δ𝐹

δ𝑥(𝑠)

η(𝑠)

𝑑(𝑠)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

+

+

𝑖

ℏ

∫

𝐹[𝑥(𝑡)]

⎡

⎢

⎣

∫

δ𝑠

δ𝑥(𝑠)

η(𝑠)

𝑑(𝑠)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

+… ,

(7.29)

получаем, что член нулевого порядка в точности равен ⟨𝐹⟩

_𝑆. Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции η(𝑆) должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение

╱

╲

δ𝐹

δ𝑥(𝑠)

╲

╱_𝑆

=-

𝑖

ℏ

╱

╲

𝐹

δ𝑠

δ𝑥(𝑠)

╲

╱_𝑆

.

(7.30)

Из этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и ещё раз получить выражение (7.6). Если речь идёт о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что это обобщение содержится в функции 𝑆, в экспоненте 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальной форме. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30).

Можно получить ещё одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на ε-отрезки, а функционалы заменить функциями переменных 𝑥(𝑖), соответствующих моментам 𝑡(𝑖). Рассматривая далее интеграл по траекториям

∫

∂𝐹

∂𝑥_𝑘

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

,

(7.31)

где 𝑡_𝑘 — некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам 𝑥_𝑖. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:

∫

∂𝐹

∂𝑥_𝑘

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

=

𝑖

ℏ

∫

∂𝑆

∂𝑥_𝑘

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)

.

(7.32)

Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.

Окончательно имеем

╱

╲

∂𝐹

∂𝑥_𝑘

╲

╱_𝑆

=-

𝑖

ℏ

╱

╲

𝐹

∂𝑆

∂𝑥_𝑘

╲

╱_𝑆

.

(7.33)

Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме

⟨δ𝐹⟩

_𝑆

=-

𝑖

ℏ

⟨𝐹δ𝑆⟩

_𝑆

(7.34)

так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции 𝐹 и 𝑆.

Задача 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты. Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная ⟨𝑑𝐹/𝑑𝑟_𝑘⟩_𝑆.

§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов

Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала 𝑉[𝑥(𝑡)].

Предположим, что вдоль траектории частицы действие задаётся выражением

𝑆=

_𝑡2

∫

_𝑡1

⎧

⎨

⎩

𝑚𝑥̇²

2

-𝑉[𝑥(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

.

(7.35)

Если каждая траектория сдвигается на малую величину δ𝑥(𝑡), то в первом приближении

δ𝑆

-=

_𝑡2

∫

_𝑡1

[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥(𝑡)]

δ𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

.

(7.36)

Из соотношения (7.34) в этом случае следует

⟨δ𝐹⟩

_𝑆

=-

𝑖

ℏ

╱

╲

𝐹

_𝑡2

∫

_𝑡1

[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥]

δ𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

╲

╱

.

(7.37)

Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной ε. Действие 𝑆 в этом случае запишется как

𝑆

=

_𝑁-1

∑

^𝑖=1

⎡

⎢

⎣

𝑚

(𝑥_𝑖+1-𝑥_𝑖)²

2ε

-

𝑉(𝑥

_𝑖

)ε

⎤

⎥

⎦

.

(7.38)

Если выбрать некоторый момент времени 𝑡_𝑘 и, как прежде, обозначить через 𝑥_𝑘 соответствующую точку траектории, то

∂𝑆

∂𝑥_𝑘

=

𝑚

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑘+1-𝑥_𝑘

ε

-

𝑥_𝑘-𝑥_𝑘-1

ε

⎫

⎪

⎭

+

𝑉'(𝑥

_𝑘

)ε

.

(7.39)

Учитывая теперь (7.33), получаем

╱

╲

∂𝐹

∂𝑥_𝑘

╲

╱_𝑆

=-

𝑖ε

ℏ

╱

╲

𝐹

⎡

⎢

⎣

𝑚

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑘+1-2𝑥_𝑘+𝑥_𝑘-1

ε²

⎫

⎪

⎭

+

𝑉'(𝑥

_𝑘

)

⎤

⎥

⎦

╲

╱

.

(7.40)

В этом последнем соотношении член, содержащий ε² в знаменателе, фактически является ускорением 𝑥̈ в момент времени 𝑡_𝑘. Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если вариация δ𝑥(𝑘) равна нулю для всех моментов 𝑡, отличных от 𝑡_𝑘. Если же в (7.37) положить δ𝑥(𝑘) равной εδ𝑥_𝑘δ(𝑡-𝑡_𝑘), то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых 𝑘, то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.

Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили 𝐹≈1. Тогда δ𝐹=0 и

-

𝑖

ℏ

╱

╲

∫

[𝑚𝑥̈

+𝑉'(𝑥)]

δ𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

╲

╱

=0.

(7.41)

Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций δ𝑥(𝑡), то в любой момент времени будет выполняться равенство

⟨

𝑚𝑥̈

⟩

=-

⟨

𝑉'(𝑥)

⟩.

(7.42)